Analysis

1096 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Satz 11.8.7 (Integration vektorwertiger Funktionen). Sei X ein topologischer
Raum, µ ∈ M(X) ein komplexes Maß auf X und f : X → V eine
stetige Abbildung in einen von-Neumann-Raum, deren Bild f(X) kompakten
Abschluß hat. So gibt es in unserem von-Neumann-Raum genau einen Vektor
fµ = f(x)µ〈x〉
derart, daß gilt 〈L, fµ〉 = 〈L, f〉µ für jede stetige Linearform L auf V .
11.8.8. Der Satz gilt analog und mit einem analogen Beweis auch für reelle
Maße und reelle von-Neumann-Räume. Sicher wäre es natürlicher, allgemeiner
beliebige meßbare Abbildungen zu integrieren, aber dann muß die Frage
der Integrierbarkeit diskutiert werden und man stößt auch auf die Schwierigkeit,
daß die Summe meßbarer Abbildungen nicht meßbar zu sein braucht,
wenn unser Vektorraum keine abzählbare Basis der Topologie besitzt. Diese
Bedingung ist zwar in typischen Anwendungen stets erfüllt, aber das stets zu
erwähnen und zu prüfen lenkt auch wieder von den eigentlich interessanten
Fragestellungen ab.
11.8.9. In V.1.1.1 diskutieren wir Integrierbarkeit und Integral für meßbare
Abbildungen eines Maßraums in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum
und in V.1.1.1 erklären wir ein Integral für stetige Abbildungen eines
kompakten reellen Intervalls in einen Banachraum. Das hier definierte Integral
verallgemeinert den letzteren Integralbegriff und stimmt auf dem Schnitt
der jeweiligen Definitionsbereiche auch mit dem ersteren Integralbegriff überein.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt sogar für jeden lokal konvexen Hausdorffschen
topologischen Vektorraum, da es auf solchen Räumen nach 11.8.5 und
dem Satz von Hahn-Banach 11.6.1 für je zwei verschiedene Vektoren eine
stetige Linearform gibt, die auf ihnen verschiedene Werte annimmt. Um die
Existenz zu zeigen, dürfen wir annehmen, daß unser Maß reell und nichtnegativ
ist. Gegeben eine Umgebung U der Null in V sagen wir, eine Funktion
g : X → V sei eine “U-gute Approximation von f” genau dann, wenn gilt
g(x) − f(x) ∈ U ∀x ∈ X. Für jede Umgebung der Null U ⊂ V betrachten
wir nun alle meßbaren Stufenfunktionen g : X → V , die U-gute Approximationen
von f sind. Da unter unseren Annahmen f(X) in einem Kompaktum
liegt, gibt es für alle U derartige Approximationen. Die Menge aller “naiven”
Integrale U-guter Approximationen von f durch meßbare Stufenfunktionen
g bezeichnen wir mit IU = IU(f). Ist U konvex, so liegt offensichtlich die
Differenz von je zwei Elementen von IU in µ(X)(U + (−U)). Lassen wir U
über alle konvexen Umgebungen der Null in V laufen, so erzeugen unsere