Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 1009
einem von Null verschiedenen Eintrag in jeder Zeile und Spalte und der Eigenschaft,
daß alle Einträge a-te Einheitswurzeln sind und ihr Produkt eine
b-te Einheitswurzel. In allen diesen Beispielen mit den einzigen Ausnahmen
G(1, 1, n) für n ≥ 2 ist C n eine irreduzible Darstellung von G(a, b, n), und in
besagten Ausnahmefällen ist {(x1, . . . , xn) ∈ C n | x1 + . . . + xn = 0} eine irreduzible
treue Unterdarstellung von G(1, 1, n) ∼ = Sn. Bis auf Isomorphismus
und die 34 exzeptionellen komplexen Spiegelungsgruppen G4, . . . , G37 erhalten
wir so alle komplexen Spiegelungsgruppen mit irreduzibler definierender
Darstellung.
Ergänzung 7.6.20. Natürlich ist es terminologisch unglücklich, daß nun der
Begriff einer komplexen Spiegelung auf zwei Arten verstanden werden kann:
Einerseits im Sinne von 7.6.19, und andererseits im Sinne von 7.1.1 für den
Spezialfall des Grundkörpers C. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus
dem Kontext zu erschließen.
7.7 Struktur affiner Spiegelungsgruppen
Lemma 7.7.1. In einem endlichdimensionalen euklidischen Raum ist eine
Menge von Vektoren, die paarweise stumpfe Winkel einschließen, stets endlich.
Beweis. Induktion über die Dimension. Ist unser Raum n-dimensional und v
ein von Null verschiedener Vektor unserer Teilmenge, so schließen nach 7.5.6
höchstens n unserer Vektoren einen echt stumpfen Winkel mit v ein. Nach
der Induktionsvoraussetzung stehen weiter höchstens endlich viele Vektoren
unserer Teilmenge auf v senkrecht.
Ergänzung 7.7.2. In ?? werden wir genauer zeigen, daß in einem n-dimensionalen
euklidischen Raum eine Menge von Vektoren, die paarweise stumpfe
Winkel einschließen, höchstens aus 2n + 1 Vektoren bestehen kann. Diese
Schranke wird auch wirklich erreicht, zum Beispiel wenn man die Vektoren
der Standardbasis sowie ihre Negativen betrachtet und dann noch den Nullvektor
hinzunimmt.
Lemma 7.7.3. Jeder Alkoven einer affinen Spiegelungsgruppe hat nur endlich
viele Wände.
Beweis. Zunächst einmal finden wir nach 7.1.5 ein invariantes Skalarprodukt
auf dem Richtungsraum. Gegeben ein Alkoven wählen wir dann zu jeder
seiner Wände einen darauf senkrechten Richtungsvektor, der in Richtung des
Alkoven zeigt. Nach 7.5.2 schließen diese Vektoren paarweise stumpfe Winkel
ein, und nach 7.7.1 bilden sie folglich eine endliche Menge.