Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 943
Daraus folgt sofort dim g mγ = 1 und dim g nγ = 0 für n > m. Wenden wir
dieselbe Überlegung mit −γ an statt mit γ, oder beachten wir alternativ unsere
Symmetrie c, so erhalten wir dimC g = 3 wie gewünscht. Andererseits
wissen wir, daß Lie G triviales Zentrum hat, da ja nach 6.1.10 jede maximale
abelsche Unteralgebra von Lie G eindimensional ist, so daß also die maximalen
abelschen Unteralgebren von Lie G genau die eindimensionalen Teilräume
sind. Die adjungierte Darstellung
G → GL(Lie G)
hat nach 4.8.19 also injektives Tangential. Wählen wir mithilfe von 2.3.12 ein
G-invariantes Skalarprodukt auf Lie G, so hat durch Dimensionsvergleich der
induzierte Homomorphismus
G → SO(Lie G)
bijektives Tangential beim neutralen Element und ist folglich eine stetige
Surjektion mit diskretem, also endlichem Kern. Ist diese Surjektion ein Isomorphismus,
so gilt G ∼ = SO(3) und wir sind fertig. Sonst wenden wir das im
Anschluß bewiesene Lemma 6.2.3 an und sind auch fertig.
Lemma 6.2.3. Ist ϕ : G ↠ SO(3) ein surjektiver stetiger Homomorphismus
mit endlichem Kern von kompakten zusammenhängenden Liegruppen, so gilt
G ∼ = SU(2) oder G ∼ = SO(3).
6.2.4. Ich gebe drei verschiedene Beweise. Der erste baut nur auf in dieser
Vorlesung bereits bewiesenen Resultaten auf, die anderen setzen jeweils verschiedene
zusätzliche Kenntnisse voraus.
Erster Beweis. Wir betrachten das kommutative Diagramm
Lie G ∼
exp
G
ϕ
Lie SO(3)
exp
SO(3)
Die Exponentialabbildung ist für zusammenhängende kompakte Liegruppen
nach 6.1.7 stets surjektiv. Aus der expliziten Beschreibung der Exponentialabbildung
der Drehgruppe in 1.2.19 erkennt man, daß das Urbild exp −1 (id) ⊂
Lie SO(3) eine disjunkte Vereinigung von konzentrischen Kugelschalen K0 ∪
K1 ∪K2 ∪. . . der Radien 0, 1, 2, . . . bezüglich eines geeigneten Skalarprodukts
ist, wobei K0 nur aus dem Ursprung besteht, aber doch noch als “entartete
Kugelschale” durchgehen mag. Unter exp : Lie G → G müssen alle diese