Analysis

902 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
eh klar und der Rest des Beweises damit überflüssig. Auch diese Identität
kann man jedoch aus unseren Annahmen folgern, wenn man sich erinnert,
daß wir ja von unseren Liegruppen die Separabilität fordern. Gälte nun unsere
Identität nicht, so hätten ja die Tangentialräume von G/Gx eine Dimension
k < dim X := n und nach Übergang zu Karten würde folgen, daß es eine
offene Teilmenge W ⊂◦ R n gäbe und eine abzählbare Familie (Uν, ϕν) mit
Uν ⊂◦ R k und ϕν : Uν → W stetig differenzierbar derart, daß die Bilder ϕν(Uν)
bereits ganz W überdecken. Das ist jedoch unmöglich, da diese Bilder nach
IV.6.8.6 alle Lebesgue-Nullmengen sind.
Ergänzung 4.9.14. Mit etwas mehr Mühe kann man im vorhergehenden Beweis
von 4.9.12 die Argumentation mit dem Lebesgue-Integral auch durch
eine Argumentation mit dem dem Baire’schen Kategoriensatz V.3.2.7 ersetzen.
Beispiel 4.9.15. Versieht man R mit der diskreten Topologie, so erhält man
eine“nicht separable nulldimensionale Liegruppe”Rd, und die Identität Rd →
R ist ein bijektiver stetiger Gruppenhomomorphismus, der kein Isomorphismus
von Mannigfaltigkeiten ist.
Übung 4.9.16. Ist ϕ : G → H ein stetiger Homomorphismus von Liegruppen
mit abgeschlossenem Bild, so induziert ϕ einen Isomorphismus von Liegruppen
(G/ ker ϕ) ∼ → im ϕ. Hinweis: 4.9.12. Auch hier ist die Separabilität von
G wesentlich.
4.10 Abelsche Liegruppen
Lemma 4.10.1 (Charakterisierungen abelscher Liegruppen). Für eine
zusammenhängende Liegruppe G sind gleichbedeutend:
1. Unsere Liegruppe G ist abelsch;
2. Ihre Liealgebra Lie G ist abelsch;
3. Die Exponentialabbildung definiert einen Gruppenhomomorphismus von
der additiven Gruppe der Liealgebra in unsere Liegruppe Lie G → G;
4. Die Exponentialabbildung definiert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
Lie G ↠ G.
Beweis. Wir beginnen mit (1) ⇔ (2) und bemerken dazu, daß für jede zusammenhängende
Liegruppe gilt
G abelsch ⇔ Int g = id : G → G ∀ g ∈ G
⇔ Ad g = id : Lie G → Lie G ∀ g ∈ G
⇔ ad X = 0 : Lie G → Lie G ∀ X ∈ Lie G
⇔ [X, Y ] = 0 ∀ X, Y ∈ Lie G