Analysis

116 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
von R×R stimmen jedoch auf dem Schnitt der jeweiligen Definitionsbereiche
überein, so daß es sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation
jeweils eine größtmögliche “sinnvolle Fortsetzung” gibt, die wir im Rahmen
der Topologie VI.3.6.1 als die größtmögliche “stetige Fortsetzung” werden
verstehen können. Wir beschreiben diese Fortsetzungen von Addition und
Multiplikation durch Abbildungen +, · : R × R → R ∪ {∗} mit einem eigenen
Symbol ∗ für“nicht sinnvoll in R zu definieren”. Unsere Fortsetzungen werden
mit dieser Konvention gegeben durch die Formeln
und
a + ∞ = ∞ + a = ∞ ∀a ∈ R ∪ {∞}
a + (−∞) = −∞ + a = −∞ ∀a ∈ R ∪ {−∞}
∞ + (−∞) = −∞ + ∞ = ∗
a∞ = ∞a = ∞ ∀a ∈ R, a > 0
a∞ = ∞a = −∞ ∀a ∈ R, a < 0
a(−∞) = (−∞)a = −∞ ∀a ∈ R, a > 0
a(−∞) = (−∞)a = ∞ ∀a ∈ R, a < 0
0∞ = ∞0 = ∗
0(−∞) = (−∞)0 = ∗
Übung 2.1.41. Man zeige: Die Regeln 2.1.36.1 zum Vertauschen von Grenzwertbildung
mit Addition und Multiplikation gelten auch noch, wenn wir
a, b ∈ R zulassen und a + b beziehungsweise a · b sinnvoll definiert sind im
Sinne der vorhergehenden Bemerkung 2.1.40.
Übung 2.1.42. Für jedes x ∈ R gibt es eine absteigende Folge von Umgebungen
U0 ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ . . . derart, daß jede Umgebung von x fast alle der Un
umfaßt.
Übung 2.1.43. Ist A ⊂ R eine nichtleere Teilmenge, so ist sup A das größte
Element in der Menge G aller Punkte aus den erweiterten reellen Zahlen, die
Grenzwerte von Folgen aus A sind.
Übung 2.1.44. Aus limn→∞ an = a folgt limn→∞ |an| = |a|. Umgekehrt folgt
aus limn→∞ |an| = 0 bereits limn→∞ an = 0.
Übung 2.1.45. Ist (an) eine Folge reeller Zahlen, die gegen eine reelle Zahl
konvergiert, so gilt limn→∞(an+1 − an) = 0.
2.2 Vollständigkeit der reellen Zahlen
Definition 2.2.1. Eine Menge von reellen Zahlen heißt beschränkt genau
dann, wenn sie in R eine obere und eine untere Schranke besitzt. Eine Folge
reeller Zahlen heißt beschränkt genau dann, wenn die Menge der Folgenglieder
beschränkt ist.