Analysis

766 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 1.1.21. Gegeben eine Darstellung (V, ρ) einer Gruppe G über einem
Körper k erhalten wir eine Darstellung (V ∗ , ρ ∗ ) auf dem Dualraum durch die
Vorschrift ρ ∗ (g) = (ρ(g −1 )) ⊤ . Sie heißt die kontragrediente Darstellung
zur Darstellung (V, ρ). Man zeige, daß eine endlichdimensionale Darstellung
einfach ist genau dann, wenn die zugehörige kontragrediente Darstellung einfach
ist. Man gebe ein Beispiel für eine eindimensionale Darstellung, die nicht
zu ihrer kontragredienten Darstellung isomorph ist.
Übung 1.1.22. Man zeige, daß die Quaternionen als reeller Vektorraum eine
irreduzible Darstellung der Gruppe {±1, ± i, ± j, ± k} aus ?? bilden.
1.2 Tangentialraum und Exponentialabbildung
1.2.1. Ich erinnere an die natürliche Topologie auf einem endlichdimensionalen
reellen Raum II.6.9.22. Ich erinnere an den Begriff einer glatten Untermannigfaltigkeit
eines endlichdimensionalen reellen Raums IV.7.7.12.
Satz 1.2.2 (Untergruppen als Untermannigfaltigkeiten). Jede abgeschlossene
Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen
reellen Vektorraums ist eine glatte Untermannigfaltigkeit ohne Rand
im Raum aller Endomorphismen unseres Vektorraums.
1.2.3. Bezeichne V unseren endlichdimensionalen reellen Vektorraum. Man
beachte, daß wir von unserer Gruppe G ⊂ V Aut V keineswegs fordern, daß sie
abgeschlossen sein soll im endlichdimensionalen Vektorraum End V , vergleiche
die Erläuterungen in II.6.5.27. Ausgeschrieben fordern wir vielmehr nur
für jede Folge in G, die bezüglich irgendeiner Norm auf End V gegen einen
Punkt von Aut V konvergiert, daß auch dieser Punkt bereits in G liegen soll.
Eine abgeschlossene Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen
reellen Vektorraums nennen wir eine Matrix-Liegruppe.
Beispiele 1.2.4. Typische Beispiele für Matrix-Liegruppen sind: Die Gruppen
GL(n; R) = Aut R n , GL(n; C) = AutC C n ⊂ AutR C n und GL(n; H) ⊂
AutR H n für den Schiefkörper H der Quaternionen aus ??; die Gruppen
SL(n; R) ⊂ Aut R n und SL(n; C) ⊂ Aut C n aller reellen bzw. komplexen
Matrizen mit Determinante Eins; die Gruppen O(n) ⊂ Aut R n und U(n) ⊂
Aut C n aller orthogonalen bzw. unitären Matrizen und darin die Untergruppen
SO(n) und SU(n) aller Matrizen mit Determinante Eins; die Gruppen
aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen, aller oberen Dreiecksmatrizen
mit Einsen auf der Diagonalen, oder aller reellen oder komplexen Diagonalmatrizen,
jeweils zu einer fest vorgegebenen Zahl von Zeilen und Spalten.
Vorschau 1.2.5. Unter einer Liegruppe versteht man ganz allgemein eine
glatte Mannigfaltigkeit G mit einer Gruppenstruktur derart, daß die Multiplikation
G × G → G, (x, y) ↦→ xy und die Inversenbildung G → G, x ↦→ x −1