Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1231
eine 2-Form mit Werten im Endomorphismenbündel. Ist speziell M eine Riemann’sche
Mannigfaltigkeit und R der Riemann’sche Zusammenhang auf
dem Tangentialbündel E = TM, so nimmt der Krümmungstensor als Werte
nur schiefadjungierte Endomorphismen der Faser alias Werte jeweils in
Lie O(Ex) ⊂ Lie GL(Ex) = End(Ex) an und es gilt die Bianchi-Identität
R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0
für beliebige glatte Vektorfelder X, Y, Z. Man kann auch für X, Y ∈ TpM
die sogenannte Ricci-Abbildung rX,Y : TpM → TpM, L ↦→ R(Y, L)X betrachten.
Deren Spur ist eine symmetrische Bilinearform
Ric : TpM × TpM → R
(X, Y ) ↦→ tr(rX,Y )
Auf 1-Formen kann der Hodge-Laplace-Operator ∆ geschrieben werden als
∆ = ∇ ∗ ∇ + Ric
mit ∇ dem“Zusammenhangs-Laplace”. Man kann auf Spin-Mannigfaltigkeiten
auch ∆ = D 2 = ˆ D 2 zerlegen für D den Dirac-Operator.
Satz 3.8.2 (Bochner). Sei M ein kompakte Riemann’sche Mannigfaltigkeit
ohne Rand. Ist die Ricci-Krümmung Ric überall positiv definit, so gilt für die
erste Betti-Zahl b1(M) = 0.
3.8.3. Dasselbe gilt für M zusammenhängend, wenn wir nur annehmen, daß
gilt Ric ≥ 0 überall und Ric > 0 an mindestens einer Stelle. Das alles wird
erklärt in [Lawson & Michelson: Spin Geometry] und [Helgason: Spin Geometry].
Bemerkung 3.8.4. Gegeben ein Zusammenhang ∇ : F → Ω1 ⊗OX X F gibt es
wohlbestimmte k-lineare Abbildungen
∇ i : Ω i X ⊗ OXF → Ω i+1
OX F
mit ∇ i (ω ⊗ σ) = dω ⊗ σ + (−1) i ω ∧ ∇σ wo das Dachprodukt den hoffentlich
offensichtlichen Morphismus Ω i X ⊗OX Ω1 X
⊗F → Ωi+1⊗OX
X F meint. In der Tat
liefert unsere Formel sicher einen Morphismus ∇ i : Ω i X ⊗k F → Ω i+1
X
⊗OX F
und wir nur ∇ i (ωf ⊗ σ) = ∇ i (ω ⊗ fσ) prüfen für alle Schnitte f in OX. In
der Tat haben wir aber
d(ωf) ⊗ σ = (dω) ⊗ fσ + (−1) |ω| (ω ∧ df) ⊗ σ