Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1245
verlorengehen. Der vorhergehende Satz gilt entsprechend, wenn man statt
der Glattheit von γ und ˜γ nur die stetige Differenzierbarkeit fordert. Der
Beweis bleibt derselbe. Man sieht so, daß der Paralleltransport sogar längs
stückweise stetig differenzierbarer Wege sinnvoll definiert ist.
Beweis. Für den Beweis dieses Satzes gehen wir wie folgt vor: Zunächst einmal
vereinbaren wir die Bezeichnung “infinitesimal parallel” für solche Lifts,
die die Bedingung 3.13.4.2 des Satzes erfüllen. Offensichtlich bilden die infinitesimal
parallelen Lifts unter der punktweisen Addition und Multiplikation
mit Skalaren einen Untervektorraum im Raum aller Lifts von γ. Weiter ist
für jeden infinitesimal parallelen Lift ˜γ die Länge konstant, denn wir haben
d
dt ˜γ(t)2 = d
dt 〈j ◦ ˜γ(t), j ◦ ˜γ(t)〉 = 2〈(j ◦ ˜γ)′ (t), j ◦ ˜γ(t)〉 = 0
Die Parallelverschiebungen “im Sinne infinitesimaler Lifts” liefern also lineare
Abbildungen zwischen den beteiligten Tangentialräumen, die Längen erhalten,
und die nach ?? folglich orthogonal sind. Damit folgt die letzte Aussage
aus den beiden anderen. Als nächstes zeigen wir, daß infinitesimal parallele
Lifts zu beliebigen Anfangswerten existieren und eindeutig sind, und anschließend,
daß jeder infinitesimal parallele Lift auch im Sinne von 3.13.2 parallel
ist. Damit ist dann der Satz vollständig bewiesen. Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit dürfen wir I offen annehmen. Wir betrachten das “mit γ zurückgeholte
Tangentialbündel”
γ ∗ (TM) := {(t, v) ∈ I × E | v ∈ Tγ(t)M}
Es ist eine glatte Untermannigfaltigkeit von R× E. Bezeichne pr p : E ↠ TpM
für alle p ∈ M die orthogonale Projektion. Wir erhalten eine glatte Abbildung
pr : I × E ↠ γ ∗ (TM)
(t, v) ↦→ (t, pr γ(t)(v))
indem wir an jeder Stelle t die zweite Komponente orthogonal auf Tγ(t)M
projizieren. Auf γ ∗ (TM) erklären wir nun ein glattes Vektorfeld ζ, indem wir
für jedes (t, v) ∈ TM den Tangentialvektor (1, 0) ∈ T(t,v)(I × E) betrachten
und sein Bild unter dem Differential von pr nehmen, in Formeln
ζ(t,v) = (d(t,v) pr)(1, 0)
Das so entstehende Vektorfeld ζ auf γ ∗ (TM) hat die Eigenschaft, daß ein
Lift ˜γ von γ infinitesimal parallel ist genau dann, wenn
ˇγ = (id, ˜γ) : I → γ ∗ (TM)