Analysis

3. ALGEBRAISCHE GRUNDBEGRIFFE 75
in der Form a(b + c) = ab + ac geschrieben werden kann. Die multiplikative
Gruppe eines Körpers K notieren wir K × = K\{0K} in Übereinstimmung
mit unserer allgemeinen Notation 3.2.11, schließlich handelt es sich
um die Menge der invertierbaren Elemente des multiplikativen Monoids K.
Für das neutrale Element der Multiplikation vereinbaren wir die Bezeichnung
1K ∈ K × . Wir kürzen meist 0K ab durch 0 und 1K durch 1 in der Erwartung,
daß man aus dem Kontext erschließt, ob mit 0 und 1 natürliche Zahlen oder
Elemente eines speziellen Körpers gemeint sind. Meist kommt es darauf im
Übrigen gar nicht an.
3.4.6. Für alle a, b in einem Körper und alle n ≥ 0 gilt die binomische Formel
(a + b) n =
n
ν=0
n
a
ν
ν b n−ν
Um das einzusehen prüft man, daß wir bei der Herleitung nach 1.1.23 nur
Körperaxiome verwandt haben. Man beachte hierbei unsere Konvention 0 0 K =
1K aus 3.1.14, angewandt auf das Monoid (K, ·) in Verbindung mit der notationellen
Konvention auf Seite 69. Die Multiplikation mit den Binomialkoeffizienten
in dieser Formel ist zu verstehen als wiederholte Addition im Sinne
der Bezeichnungskonvention na auf Seite 69, angewandt auf den Spezialfall
der additiven Gruppe unseres Körpers.