Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 677
Definition 2.3.5. Unter einem Gitter in einem endlichdimensionalen reellen
Vektorraum versteht man eine Untergruppe der additiven Gruppe des
jeweiligen Vektorraums, die als Gruppe von einer Basis des besagten Vektorraums
erzeugt wird. Gegeben ein Gitter Γ in einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum V erklären wir das duale Gitter Γ ∧ im Raum der
Charaktere ˆ V als die Menge aller Charaktere, die auf allen Punkten der ursprünglichen
Gitters den Wert Eins annehmen, in Formeln
Γ ∧ = {χ | 〈χ, v〉 = 1 ∀v ∈ Γ}
Beispiel 2.3.6. Z ⊂ R ist ein Gitter, und das duale Gitter Z ∧ ⊂ ˆ R entspricht
unter der Identifikation R ∼ → ˆ R, y ↦→ ˆy mit ˆy(x) = e − i xy dem Gitter 2πZ ⊂ R.
2.3.7. Gegeben ein Gitter Γ in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
V und ein Haar-Maß λ auf V definieren wir eine reelle Zahl λ(V/Γ) als
das “Maß der Grundmasche des Gitters”, in Formeln
λ(V/Γ) = λ([0, 1]v1 + . . . + [0, 1]vn)
für ein und jedes Erzeugendensystem v1, . . . , vn von Γ, das eine Basis von
V bildet. Daß diese Zahl nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt,
kann man man zum Beispiel mit der Transformationsformel aus der Tatsache
folgern, daß die Übergangsmatrix zwischen je zwei derartigen Erzeugendensystemen
ebenso wie ihre Inverse nur ganzzahlige Einträge hat, so daß für
ihre Determinante nur die Werte ±1 in Frage kommen.
Definition 2.3.8. Gegeben ein Haarmaß λ auf einem endlichdimensionalen
reellen Vektorraum V definieren wir ein Haarmaß ˆ λ auf seiner Charaktergruppe
ˆ V , das Plancherel-Maß zu λ, durch die Vorschrift
λ(V/Γ) · ˆ λ( ˆ V /Γ ∧ ) = 1
für jedes Gitter Γ ⊂ V. Der Nachweis, daß solch ein Plancherelmaß existiert,
kann dem Leser überlassen bleiben.
2.3.9. Unter unserer Identifikation can : V ∼ → ˆ V aus 2.3.3 ist für jedes Haar-
Maß λ auf V das Plancherel-Maß des Plancherel-Maßes offensichtlich verwandt
zum Maß λ selbst, in Formeln
can : λ ❀ ˆ λ
Beispiel 2.3.10. Wir betrachten V = R n mit dem Gitter Γ = Z n . Unser
Isomorphismus ϕ : R n ∼ → ˆ V , y ↦→ ˆy gegeben durch ˆy(x) = e − i x·y induziert
dann eine Bijektion 2πZ n ∼ → Γ ∧ . Das Plancherelmaß ˆ λ zum Lebesguemaß λ =