Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 659
2 Fouriertransformation
2.1 Definition und erste Eigenschaften
Definition 2.1.1. Die Fouriertransformierte einer integrierbaren Funktion
f ∈ L1 (Rn ) ist die Funktion f ∧ : Rn → C, die gegeben wird durch die
Vorschrift
f ∧ (y) = (2π) −n/2
Rn f(x) e − i x·y d n x
Hier bezeichnet x·y ∈ R das Standard-Skalarprodukt der Vektoren x, y ∈ R n .
Offensichtlich liefert die Abbildungsvorschrift f ↦→ f ∧ eine C-lineare Abbildung
von zumindest im Fall n ≥ 1 unendlichdimensionalen komplexen Vektorräumen
F : L 1 → Ens(R n , C), die Fouriertransformation oder genauer
Fouriertransformation auf integrierbaren Funktionen.
2.1.2. Natürlich kann man die Fouriertransformierte auch berechnen, wenn
man eine integrierbare Funktion nur fast überall kennt. Das Vorzeichen im
Exponenten kommt her vom Vorzeichen aus unserer Formel für die Koeffizienten
der Fourierentwicklung am Ende des Beweises von III.3.1.3 und
verbessert die Verträglichkeit beider Formalismen. Der merkwürdige Faktor
(2π) −n/2 wird eingeführt, um eine Symmetrie vorzutäuschen, die mir eher gekünstelt
scheint: Wie wir beim Beweis der Inversionsformel 2.1.32 sehen werden,
sorgt er dafür, daß für alle f ∈ L 1 mit f ∧ ∈ L 1 gilt (f ∧ ) ∧ (x) = f(−x)
für fast alle x. Oft verwendet man eine alternative Konvention, nach der die
Fouriertransformierte gegeben wird durch das Integral
f ∧
(y) = f(x) e −2π i x·y d n x
R n
Auch mit dieser Konvention liefert die zweimalige Transformation, wenn
sie denn möglich ist, die Verknüpfung der ursprünglichen Funktion mit der
Punktspiegelung am Ursprung, aber die Formeln aus der gleich folgenden
Proposition 2.1.6 müssen beim Arbeiten mit dieser Konvention durch kompliziertere
Formeln ersetzt werden. Die eigentliche Bedeutung dieser ganzen
Faktoren ebenso wie ein natürlicherer Formalismus werden in den folgenden
Abschnitten noch ausführlich diskutiert werden, vergleiche insbesondere
2.2.11 und 2.3.14.
2.1.3. Sie alle beherrschen die Fouriertransformation viel besser, als Sie vielleicht
vermuten: Wird etwa auf einem Klavier ein Akkord angeschlagen, so ist
der Luftdruck an Ihrem Ohr eine komplizierte Funktion der Zeit, und wenn
wir diese Funktion auf ein im Vergleich zur Dauer des einmaligen Hin-und-
Her-Schwingens einer Klaviersaite großes Zeitintervall einschränken, durch