Analysis

836 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Satz 3.5.2 (Klassifikation kompakter Eins-Mannigfaltigkeiten). Jede
eindimensionale zusammenhängende kompakte topologische Mannigfaltigkeit
ist homöomorph zur Kreislinie S 1 .
3.5.3. Weitere Resultate in dieser Richtung kann man etwa in [FR84], Seite
139 folgende finden. Wir schicken dem eigentlichen Beweis ein Lemma voraus.
Lemma 3.5.4. Läßt sich ein zusammenhängender Hausdorffraum schreiben
als Vereinigung von zwei offenen zu R homöomorphen Teilmengen, so ist er
homöomorph zur Zahlengeraden R oder zur Kreislinie S 1 .
Beweis. Sei X unser Raum und seien ϕ, ψ : R ↩→ X offene stetige Einbettungen,
deren Bilder X überdecken. Da X zusammenhängend ist, haben
wir ϕ(R) ∩ ψ(R) = ∅. Sicher ist ϕ −1 (ψ(R)) offen in R, folglich ist jede Zusammenhangskomponente
dieser Menge ein offenes Intervall. Wäre solch eine
Zusammenhangskomponente beschränkt, sagen wir ϕ −1 (ψ(R)) = (a, b) mit
a, b ∈ R, so folgte (ψ −1 ◦ϕ)((a, b)) = (ψ −1 ◦ϕ)([a, b]), und da ϕ([a, b]) kompakt
und damit abgeschlossen ist, wäre (ψ −1 ◦ ϕ)((a, b)) sowohl offen als auch abgeschlossen
und damit ganz R und es folgte ϕ : R ∼ → X und wir wären fertig.
Wir dürfen also annehmen, jede Zusammenhangskomponente von ϕ −1 (ψ(R))
sei ein unbeschränktes Intervall. Folglich besitzt dieser Raum und damit auch
ϕ(R) ∩ ψ(R) entweder eine oder zwei Zusammenhangskomponenten. Wir beginnen
mit dem Fall einer Komponente. Indem wir notfalls ϕ bzw. ψ durch
ihre Verknüpfung mit t ↦→ −t ersetzen, dürfen wir annehmen, daß es a, b ∈ R
gibt derart, daß ϕ und ψ Homöomorphismen
(−∞, a) ∼ → ϕ(R) ∩ ψ(R) ∼ ← (b, ∞)
induzieren. Die Verknüpfung ist also streng monoton. Wäre sie streng monoton
fallend, so hätten wir
lim ϕ(x) = ϕ(a) = ψ(b) = lim
x↗a y↘b ψ(y)
im Widerspruch zur Wahl von a und b. Also ist unsere Verknüpfung streng
monoton wachsend und gegeben c, d mit ϕ(c) = ψ(d) haben wir
X = ψ((−∞, d]) ∪ ϕ([c, ∞))
wobei ϕ(c) = ψ(d) der einzige gemeinsame Punkt dieser beiden Mengen ist.
Sie sind beide abgeschlossen in X, da ihre Urbilder unter ψ und ϕ es sind, und
daraus folgt dann, daß X homöomorph ist zu R. Im Fall zweier Komponenten
argumentieren wir analog.