Analysis

7. RAUMWERTIGE FUNKTIONEN 273
einem Parkplatz los und kurven durch die Gegend und der Tacho zeigt nie
mehr als 20 km/h an, so sind wir um 17 : 00 höchstens 60 km von unserem
ursprünglichen Parkplatz entfernt. Besteht C dahingegen aus einem einzigen
Punkt, der sagen wir die Geschwindigkeit von 20 km/h in einer festen Richtung
bedeutet, so besagt unser Satz: Fahren wir konstant mit 20 km/h in
diese Richtung, so haben wir um 17 : 00 genau 60 km in besagte Richtung
zurückgelegt. Für dieses Beispiel identifizieren wir implizit die Zeitachse T
mit der reellen Zahlengerade R derart, daß jeder Stunde ein Intervall der
Länge Eins entspricht und damit der Zeitspanne h ∈ T der Richtungsvektor
1 ∈ R = R. Das bedeutet insbesondere, daß wir implizit auch vektorielle
Geschwindigkeiten mit Richtungsvektoren identifizieren dürfen. Im übrigen
wird in IV.1.2.15 erklärt, wie man auch mit “echten” Geschwindigkeiten formal
korrekt arbeiten kann.
7.2.14. Der Satz folgt im Fall X = R leicht aus unserem bisherigen Mittelwertsatz
4.3.8 und er spielt auch im allgemeinen eine ähnliche Rolle, indem er
es erlaubt, “den von einem Teilchen in einem Zeitintervall [a, b] gewonnenen
Abstand von seinem Ausgangspunkt aus der Kenntnis seiner lokalen Geschwindigkeiten
abzuschätzen”. Jedoch kann man für höherdimensionales X
im allgemeinen keinen Zeitpunkt mehr finden, zu dem das Teilchen “mittlere
Geschwindigkeit” hätte, d.h. es gibt für höherdimensionales X im allgemeinen
keinen Zeitpunkt ξ ∈ [a, b] mit γ(b) − γ(a) = (b − a)γ ′ (ξ). Man stelle ich
etwa vor, daß unser Geländewagen ein Rundtour fährt, bei der er zu keiner
Zeit die Geschwindigkeit Null hat. Ich bin deshalb von der in der älteren Literatur
üblichen Bezeichnung als “Mittelwertsatz in mehreren Veränderlichen”
nicht vollständig befriedigt. Oft wird auch nur der Fall betrachtet, daß C ein
offener Ball oder auch ein abgeschlossener Ball mit Zentrum im Ursprung ist:
Aus γ ′ (t) ≤ K ∀t ∈ [a, b] folgt so etwa γ(b) − γ(a) ≤ (b − a)K.
7.2.15. Offensichtlich ist eine Teilmenge C eines reellen Vektorraums genau
dann konvex, wenn für beliebige reelle s, t ≥ 0 gilt sC + tC = (s + t)C. Das
zeigt, daß in unserem Satz die Aussage für das ganze Intervall folgt, wenn
wir sie für alle Stücke einer Zerlegung in Teilintervalle zeigen können.
Erster Beweis. Ist C abgeschlossen, so schreiben wir C als den Schnitt der
offenen konvexen Mengen C + B(0; η). Wir dürfen also ohne Beschränkung
der Allgemeinheit C offen annehmen. Wir betrachten nun
s = sup{q ∈ [a, b] | γ(x) − γ(a) ∈ (x − a)C ∀x ∈ [a, q]}
und zeigen zunächst s = b. Für alle p ∈ [a, b] finden wir ja eine offene Umgebung
Up ⊂◦ [a, b] mit
γ(q) − γ(p)
q − p
∈ C für alle q ∈ Up\p