Analysis

650 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
im Beweis von III.3.1.3 gesehen, daß sie ein Orthonormalsystem bilden. Aus
III.3.2.15 wissen wir weiter, daß sich jede stetige Funktion der Periode 2π beliebig
gut gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren läßt.
Da sogar die glatten Funktionen auf [0, 2π] mit Träger im offenen Intervall
(0, 2π) nach 1.5.1 ihrerseits dicht in L 2 liegen, liegen auch die trigonometrischen
Polynome dicht in L 2 .
Übung 1.5.6 (Fourierreihen in mehreren Veränderlichen). Man zeige,
daß die Funktionen x ↦→ e 2π i x·ξ für ξ ∈ Z n eine Hilbertbasis des Raums
L 2 ([0, 1] n ; λ) der in Bezug auf das Lebesgue-Maß quadratintegrierbaren Funktionen
auf dem n-dimensionalen Einheitswürfel bilden.
Übung 1.5.7. Gegeben y ∈ R n und p ∈ [1, ∞) bezeichne τy : L p (R n ) →
L p (R n ) die Verschiebung, in Formeln (τyf)(x) = f(x − y). Man zeige die
Stetigkeit der Abbildung R n ×L p (R n ) → L p (R n ), (y, f) ↦→ τyf. Hinweis: Man
zeige zunächst die Stetigkeit von y ↦→ τyf für f ∈ Cc(R n ). Der Buchstabe τ
seht für das Wort “Translation”.
Ergänzende Übung 1.5.8. Hier dürfen Sie zeigen, daß für A, B ⊂ R n meßbar
von positivem Maß die Menge A+B eine nichtleere offene Teilmenge umfaßt.
Man folgere zunächst aus 1.5.7, daß für alle g ∈ L 1 (R n ; λ) die Funktion y ↦→
f(y−x)[B](x) λ〈x〉 stetig sein muß. Dann beachte man, daß diese Funktion
im Fall f = [A] mit A meßbar von positivem endlichen Maß nichtnegativ ist
und positives Integral hat.
1.6 Fourier-Reihen und Charaktere
1.6.1. Seine natürlichste Form erhält unser Satz über Fourier-Reihen, wenn
wir das Intervall [0, 2π] zur Kreislinie S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} zusammenbiegen.
Das will ich im folgenden ausführen.
Satz 1.6.2 (Einparameteruntergruppen von C × ). Jeder stetige Gruppenhomomorphismus
ϕ : R → C × hat die Gestalt ϕ(t) = exp(at) für genau
ein a ∈ C.
Ergänzung 1.6.3. Allgemeinere Aussagen dieser Art können Sie in VI.1.6.3
oder 3.1.20 kennenlernen.
Beweis. Die Eindeutigkeit von a folgt aus ϕ ′ (0) = a. Nur die Existenz von a
ist also noch zu zeigen. Nun liefert für hinreichend kleines r > 0 die komplexe
Exponentialfunktion sicher eine Injektion exp : B(0; r) ↩→ C × mit offenem
Bild U ⊂◦ C und stetiger Umkehrabbildung U ∼ → B(0; r). Das Bild V =
exp(B(0; r/2)) des Balls mit dem halben Radius hat dann offensichtlich die