Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 867
Abbildung dxϕ : E → F , zusammengefaßt
Diff : C 1 -Mgf ∗
aff → R -Mod
(x ∈ U ⊂◦ E) ↦→ E
ϕ ↓ ↦→ dxϕ ↓
(y ∈ V ⊂◦ F ) ↦→ F
In nochmal anderen Worten fordern wir also von unserem Paar (T, Φ), daß
es das Diagramm
C1 -Mgf ∗ Diff
aff R -Mod
Φ
i
∼
C1 -Mgf ∗ T
R -Mod
zum Kommutieren bringt in dem Sinne, daß der Doppelpfeil eine Isotransformation
ist zwischen den beiden Verknüpfungen der Funktoren auf den Kanten
unseres Quadrats. Es ist leicht zu sehen, daß solch ein Tangentialraumfunktor
im wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Ist genauer (T ′ , Φ ′ ) ein weiterer
Tangentialraumfunktor, so existiert genau eine Transformation C : T ⇒ T ′
derart, daß das Diagramm von Transformationen
Ti
Φ ≀
Diff
Ci
′
T
i
kommutiert, und dies C ist auch stets eine Isotransformation. Das alles ist
leicht zu prüfen. Es kann auch formal aus ?? gefolgert werden, aber dieser
Zugang illustriert eher die Trivialität der dabei verwendeten Resultate der
Kategorientheorie, als daß er hier Substantielles beitragen könnte.
Ergänzung 4.3.12. Im Vorhergehenden haben wir schlicht ein mögliches Paar
(T, Φ) explizit konstruiert, und zwar den Funktor T auf Objekten in 4.3.3, den
Funktor T auf Morphismen in 4.3.5, und die Isotransformation Φ in 4.3.4. Die
von einem Funktor ganz allgemein geforderten Eigenschaften haben Sie für
dieses T in Übung 4.3.6 geprüft, und die Lokalität dieses Funktors T haben
wir in 4.3.10 erwähnt. Auch andere Konstruktionen sind möglich und üblich.
Besonders beliebt ist eine Konstruktion, bei der man TxX erklärt als die
Menge aller Äquivalenzklassen von C 1 -Kurven γ : I → X mit 0 ∈ I ⊂◦ R und
γ(0) = x und der Äquivalenzrelation, daß γ ∼ κ gleichbedeutend sein soll zu
(ϕ −1 γ) ′ (0) = (ϕ −1 κ) ′ (0) für jede Karte ϕ um x. Ich überlasse es dem Leser zur
Übung, diese nur auf dem Niveau der Objekte gegebene Abbildungsvorschrift
zu einem Tangentialraumfunktor (T, Φ) auszubauen.
≀ Φ ′
Diff