Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 921
Borelmenge A ⊂ X, die ganz im Bild einer Karte ϕ : W → X enthalten ist,
gegeben wird durch
˜µ(A) = ϕ ∗ µ
ϕ −1 (A)
5.4.4. Hier meint ϕ ∗ µ die auf W zurückgeholte Dichte, und deren Integral ist
im Sinne von 5.4.2 zu verstehen.
5.4.5. Sobald der Satz einmal bewiesen ist, machen wir in der Notation keinen
Unterschied mehr zwischen einer nichtnegativen meßbaren Dichte und dem
zugehörigen Maß. Gegeben eine meßbare Volumenform ω bezeichnet dann
insbesondere |ω| sowohl die zugehörige Dichte als auch das zugehörige Maß.
Beweis. Der Beweis von IV.7.4.2 kann fast ohne Änderungen übernommen
werden. Der wesentliche Punkt ist wieder der Nachweis, daß für ψ : V → X
eine weitere Karte mit ψ(V ) = ϕ(W ) gilt
ϕ ∗
µ = ψ ∗ µ
ϕ −1 (A)
ψ −1 (A)
Bezeichnet jedoch g := ϕ −1 ◦ ψ : V ∼ → W den Kartenwechsel und haben wir
ϕ ∗ µ = a(x)|dx1 ∧ . . . ∧ dxn|, so ergibt sich
ψ ∗ µ = g ∗ ϕ ∗ µ
= g ∗ (a|dx1 ∧ . . . ∧ dxn|)
= (a ◦ g)| det dg||dy1 ∧ . . . ∧ dyn|
wo ich in der Hoffnung, dadurch das Verständnis zu fördern, dieselben Koordinaten
auf R n einmal xi nenne, wenn sie nämlich auf W zu verstehen
sind, und dann wieder yi, wenn sie auf V zu verstehen sind. Die behauptete
Gleichheit der Integrale folgt nun wie im Beweis von IV.7.4.2 aus der
Transformationsformel IV.6.8.1.
5.5 Wohin?
5.5.1. Gegeben eine reellen Mannigfaltigkeit X und ein endlichdimensionaler
R-Vektorraum W können wir den Formalismus der Differentialformen wie in
VIII.1.5.8 auf W -wertige Differentialformen verallgemeinern. So erhalten wir
insbesondere eine äußere Ableitung
für k ≥ 0.
d: Ω k (X) ⊗ W → Ω k+1 (X) ⊗ W