Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1453
Bemerkung 5.3.6. Die Weierstraß’sche ℘-Funktion nimmt alle komplexen
Zahlen als Werte an und definiert also eine Surjektion C/Γ ↠ P 1 C. In der
Tat ist das Bild offen und kompakt. Da ℘ gerade ist und ℘ ′ ungerade, folgt
leicht, daß unsere Abbildung alle Punkte der Kubik als Werte annimmt.
Bemerkung 5.3.7. Gegeben ein reeller Vektorraum V bezeichne Gitt(V ) die
Menge aller Z-Gitter in V, als da heißt die Menge aller Untergruppen der
additiven Gruppe V, die von einer R-Basis erzeugt werden. Auf Gitt(C) operiert
C × in offensichtlicher Weise und die Vorschrift Γ ↦→ C/Γ liefert dann
eine Bijektion des Bahnenraums mit der Menge aller Isomorphieklassen von
komplexen elliptischen Kurven
C × \ Gitt(C) ∼ →
⎧
⎨
⎩
Riemann’sche Flächen von der
topologischen Gestalt eines Schwimmrings,
bis auf Isomorphismus
Der Beweis soll hier nur angedeutet werden: Man konstruiert die inverse
Abbildung, indem man zu jeder elliptischen Kurve E die durch Integration
holomorpher 1-Formen längs 1-Zykeln gegebene Paarung
H1(E; Z) × Ω 1 hol(E) → C
betrachtet. Die zugehörige Abbildung H1(E; Z) → HomC(Ω1 hol (E), C) identifiziert
H1(E; Z) mit einem Gitter im komplex eindimensionalen Vektorraum
HomC(Ω1 hol (E), C), und die Wahl einer Basis dieses Vektorraums liefert uns
dann ein bis auf eine multiplikative Konstante wohlbestimmtes Gitter in C.
Bemerkung 5.3.8. Die Wahl einer Wurzel i aus −1 liefert eine Basis 1, i von C
über R und damit einen Isomorphismus GL(2; R) ∼ → Mod ×
R C. Unter diesem
Isomorphismus entspricht die Isotropiegruppe des Gitters der Gauss’schen
Zahlen offensichtlich gerade GL(2; Z). Da Mod ×
R C transitiv auf Gitt(C) operiert,
erhalten wir so Bijektionen
GL(2; R)/ GL(2; Z) ∼ → Mod ×
R C/(Isotropiegruppe) ∼ → Gitt(C)
Den Bahnenraum C × \ Gitt(C) können wir mithin identifizieren mit dem
Doppelquotienten C × \ GL(2; R)/ GL(2; Z), wo C × ⊂ GL(2; R) als die Untergruppe
aller Drehstreckungen einzubetten ist. Diesen Doppelquotienten
hinwiederum können wir in offensichtlicher Weise identifizieren mit dem Doppelquotienten
SO(2)\ SL(2; R)/ SL(2; Z).
Bemerkung 5.3.9. Allgemeiner bezeichnen wir für einen endlichdimensionalen
reellen Vektorraum V und N ≥ 1 mit GittN(V ) die Menge aller Paare von
⎫
⎬
⎭