Analysis

592 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7.5.3. Unter den Annahmen und Notationen von 7.5.1 und wenn wir W mit
der von Rk induzierten Orientierung versehen, gilt für unsere integrierbare
k-Form ω auch
ω = ε ϕ ∗ ω
M
W
In der Tat folgt das unmittelbar aus den Definitionen, wenn wir das Differentialformenintegral
auf der rechten Seite vermittels der Karte id : W ∼ → W
berechnen. Ebenso folgt, daß ω integrierbar ist genau dann, wenn ϕ∗ω integrierbar
ist.
Beispiel 7.5.4 (Funktionenintegral als Differentialformenintegral). Eine
n-Form η auf einer offenen Teilmenge W ⊂◦ Rn hat die Gestalt η =
f dx1 ∧ . . . ∧ dxn für eine wohlbestimmte reellwertige Funktion f : W → R,
eben der Funktion f gegeben durch f(x) = ηx(e1, . . . , en). Geben wir unserer
offenen Teilmenge die von der Standardorientierung des Rn induzierte Orientierung,
so ist unsere n-Form η integrierbar über W genau dann, wenn die
Funktion f integrierbar ist über W in Bezug auf das Lebesgue-Maß λn , und in
diesem Fall gilt unter Verwendung unserer ganzen verschiedenen Notationen
η = f dx1 ∧ . . . ∧ dxn = f(x) d n
x = fλ n
W
W
Beispiel 7.5.5. Wir berechnen das Integral der 2-Form x 2 dx ∧ dy über die
obere Hemisphäre H = {(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0} mit der Orientierung,
für die die beiden ersten Vektoren e1, e2 der Standardbasis des
R 3 in dieser Reihenfolge eine orientierte Basis des Tangentialraums am Pol
T(0,0,1)H bilden. Wir betrachten das offene Rechteck R = (0, π) × (0, π) ⊂ R 2
und die orientierte Karte φ : R → H, (ϑ, ϕ) ↦→ (cos ϑ, cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ),
anschaulich gesprochen eine “liegende Version” unserer Kugelkoordinaten aus
3.2.11, und erhalten
H x 2 dx ∧ dy = R cos 2 ϑ d(cos ϑ) ∧ d(cos ϕ sin ϑ)
W
= R cos 2 ϑ(− sin ϑ dϑ) ∧ (cos ϕ cos ϑ dϑ − sin ϕ sin ϑ dϕ)
= R cos2 ϑ sin2 ϑ sin ϕ dϑ ∧ dϕ
=
R cos2 ϑ sin2 ϑ sin ϕ dϑ dϕ
= π π
0 0 cos2 ϑ sin2 ϑ sin ϕ dϑ dϕ
= 1
π
4 0 sin2 (2ϑ) dϑ π
1
sin ϕ dϕ = 0 2
π
0
W
1 cos 4ϑ − 2 2
π dϑ = 4
Um diese Rechnung zu rechtfertigen, müssen wir sie von hinten nach vorne
lesen: Der Übergang zum Doppelintegral ist erlaubt, da der Integrand
nichtnegativ ist und so der positive Fubini greift, der dann hinwiederum erst