Analysis

3. WEGINTEGRALE 403
3.2.6. Gegeben ein Vektorfeld A und ein 2-Tensor g können wir ein Kovektorfeld
cang(A) bilden durch das Einsetzen von A in die erste Stelle von g. Ist
unser 2-Tensor g an keiner Stelle ausgeartet, insbesondere also im Fall einer
Riemann’schen Metrik, so ist diese Abbildung eine Bijektion
cang : {Vektorfelder} ∼ → {Kovektorfelder}
Bezeichnet speziell s das Standardskalarprodukt auf dem R n , so haben wir
etwa cans(a∂i) = a dxi für jede Funktion a. Für unseren Gradienten aus 1.1.5
gilt folglich grad f = can −1
s (df). Im allgemeinen verwendet man die Notation
grad g f := can −1
g (df)
und nennt dies Vektorfeld den Gradienten von f in Bezug auf die Riemann’sche
Metrik g oder allgemeiner in Bezug auf den nichtausgearteten
2-Tensor g.
Definition 3.2.7. Seien U ⊂◦ X, V ⊂◦ Y offene Teilmengen endlichdimensionaler
reeller Räume und φ : U → V stetig differenzierbar. Vorgegebene
2-Tensoren s auf U und g auf V heißen φ-verwandt und wir schreiben
φ : s ❀ g genau dann, wenn für alle x ∈ U und v, w ∈ X gilt
sx(v, w) = gφ(x) ((dxφ)(v), (dxφ)(w))
3.2.8. Wieder ist Verwandschaft verträglich mit allen natürlichen Operationen,
etwa mit dem Einsetzen von Vektorfeldern, dem Multiplizieren mit
Funktionen, unserer Konstruktion ⊗ etc. Insbesondere haben verwandte Funktionen
unter verwandten Riemann’schen Metriken verwandte Gradienten, in
Formeln impliziert φ : s ❀ g also die Verwandtschaft von Vektorfeldern
φ : grad s(f ◦ φ) ❀ grad g f
Offensichtlich hat jeder 2-Tensor g auf V genau einen Verwandten auf U, den
wir mit φ ∗ g bezeichnen und den zurückgeholten 2-Tensor nennen. Gegeben
eine parametrisierte Fläche im Raum oder allgemeiner eine differenzierbare
Abbildung φ : U → R 3 mit U ⊂◦ R 2 bezeichnet man den symmetrischen
2-Tensor auf R 2 , der durch das Zurückholen der Standardmetrik entsteht,
auch als die erste Fundamentalform unserer parametrisierten Fläche.
Beispiel 3.2.9. Unter der Polarkoordinatenabbildung P aus 3.1.23 ist die
Standardmetrik s = dx ⊗2 + dy ⊗2 auf der xy-Ebene verwandt zum 2-Tensor
g = (cos ϑ dr − r sin ϑ dϑ) ⊗ (cos ϑ dr − r sin ϑ dϑ)
+(sin ϑ dr + r cos ϑ dϑ) ⊗ (sin ϑ dr + r cos ϑ dϑ)
= dr ⊗2 + r 2 dϑ ⊗2