Analysis

1354 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
nach IV.3.6.10, daß unser Kovektorfeld geschlossen ist, in Formeln
∂f
∂y
= i∂f
∂x
In Real- und Imaginärteil auseinandergezogen sind das genau die Cauchy-
Riemann’schen Differentialgleichungen. Wir können also unter der zusätzlichen
Annahme der Stetigkeit der komplexen Ableitung den Cauchy’schen
Integralsatz auch aus der vektorwertigen Version von IV.3.6.10 ableiten, die
hinwiederum aus ihrer reellwertigen Version unschwer gefolgert werden kann.
1.5.6. Ist f : A → C differenzierbar, so haben wir weiter
df = ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy
für die partiellen Ableitungen, die man erhält über die übliche Identifikation
R 2 ∼ → C gegeben durch (x, y) ↦→ (x + iy). Für eine halboffene Teilmenge
A ⊂ C und eine reell total differenzierbare Funktion f : A → C definiert man
nun zwei komplexwertige Funktionen auf A, ihre Wirtinger-Ableitungen
, durch die Vorschrift
∂f
∂z
und ∂f
∂¯z
df = ∂f ∂f
dz +
∂z ∂¯z d¯z
Die Beziehung dieser Wirtinger-Ableitungen zu den partiellen Ableitungen
von eben wird nach dem Vorhergehenden beschrieben durch die Formeln
∂f 1 ∂f
∂f 1 ∂f
= − i∂f
= + i∂f
∂z 2 ∂x ∂y
∂¯z 2 ∂x ∂y
Nach den Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen ist also eine stetig
partiell differenzierbare Funktion f : A → C holomorph genau dann, wenn
gilt ∂f
∂¯z
= 0, und in diesem Fall ist ∂f
∂z = f ′ ihre komplexe Ableitung.
1.5.7. Analog können wir auch vektorwertige Differentialformen höheren Grades
betrachten, und für ein stetig differenzierbares vektorwertiges Kovektorfeld
ω auf einer halboffenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen
Raums ist die Homotopieinvarianz des Wegintegrals auch wieder gleichbedeutend
zu dω = 0. In unserem Spezialfall eines komplexwertigen Kovektorfelds
der Gestalt ω = f(z) dz auf einer offenen Teilmenge U der komplexen
Zahlenebene haben wir nun mit einem komplexlinear zu verstehenden Dach-
produkt sicher
dω = df ∧ dz =
∂f ∂f
dz +
∂z ∂¯z d¯z
∧ dz = ∂f
d¯z ∧ dz
∂¯z