Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 187
Beweis. Es reicht, die beiden ersten Aussagen zu zeigen. Wächst f nicht
streng monoton, so gibt es a < b mit f(a) ≥ f(b) und nach dem Mittelwertsatz
finden wir p ∈ (a, b) mit
f ′ (p) =
f(a) − f(b)
a − b
Wächst f nicht monoton, so finden wir in derselben Weise p ∈ I mit f ′ (p) <
0. Das zeigt schon mal ⇒ . Umgekehrt folgt aus f monoton wachsend, daß
alle Sekantensteigungen nichtnegativ sind, und damit auch alle Grenzwerte
von Sekantensteigungen.
Korollar 4.3.12 (Funktionen, die ihre eigene Ableitung sind). Sei
I ⊂ R ein halboffenes Intervall. Genau dann stimmt eine differenzierbare
Funktion f : I → R überein mit ihrer eigenen Ableitung, wenn sie ein Vielfaches
der Exponentialfunktion ist, in Formeln
≤ 0
f ′ = f ⇔ ∃c ∈ R mit f(x) = c exp(x)
4.3.13. Eine differenzierbare Funktion f : R × → R mit f ′ = f muß keineswegs
ein Vielfaches der Exponentialfunktion sein. Zum Beispiel wäre die
Funktion f mit f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 5 exp(x) für x > 0 auch eine
Möglichkeit. Aber gut, R × ist ja auch kein Intervall.
Beweis. Bezeichne I ⊂ R unser halboffenes Intervall und f : I → R unsere
differenzierbare Funktion mit f = f ′ . Die Ableitung der Funktion f(x) e −x
ergibt sich mit der Produktregel zu f ′ (x) e −x −f(x) e −x = 0, mithin ist die
Funktion f(x) e −x konstant, sagen wir mit einzigem Funktionswert c, und wir
folgern f(x) = c e x ∀x ∈ I.
Übung 4.3.14. Sei α ∈ R gegeben. Ist f : R → R differenzierbar und löst die
Differentialgleichung f ′ = αf, so gilt f(x) = f(0) e αx für alle x ∈ R.
Satz 4.3.15 (Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum).
Sei D ⊂ R eine halboffene Teilmenge, f : D → R differenzierbar und p ∈ D
ein Punkt mit f ′ (p) = 0. Sei die Ableitung f ′ von f differenzierbar bei p.
1. Gilt f ′′ (p) > 0, so besitzt f ein isoliertes lokales Minimum bei p,
als da heißt, es gibt r > 0 derart, daß gilt f(q) > f(p) für alle q ∈ D
mit 0 < |q − p| < r.
2. Gilt f ′′ (p) < 0, so besitzt f ein isoliertes lokales Maximum bei p.