Analysis

1038 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beispiel 10.2.10. Gegeben eine glatte Funktion f : X → R auf einer Mannigfaltigkeit
X können wir ein glattes Kovektorfeld
erklären durch die Vorschrift
df : X −→ T ∗ X
(df)x = dxf : TxX → Tf(x)R ∼
−→ R
mit der kanonischen Identifikation TpR ∼
−→ R für alle p ∈ R.
Definition 10.2.11. Gegeben ein R-Vektorbündel p : E → X auf einer
Mannigfaltigkeit X und k ∈ N definieren wir ein weiteres R-Vektorbündel
Alt k E auf X, indem wir auf der disjunkten Vereinigung
Alt k E = ⊔x∈X Alt k Ex
mit der hoffentlich offensichtlichen Projektion q : Alt k E → X die einzige
Struktur eines R-Bündels betrachten derart, dass für jede Bündelkarte U ×
n ∼
R −→ p−1 (U) von E die offensichtliche Abbildung
eine Bündelkarte von Alt k E ist.
U × Alt k (R n ) −→ q −1 (U)
Jetzt irgendwie weiter bis zum Haar-Maß
Definition 10.2.12. Das Haar-Maß auf einer kompakten Liegruppe, das
der ganzen Gruppe Maß Eins gibt, nennen wir das normierte Haar-Maß
unserer kompakten Liegruppe.
10.2.13. Wir können nun mit identischen Beweisen viele unserer Resultate
für kompakte Matrix-Liegruppen auf beliebige kompakte Liegruppen verallgemeinern.
Ich erwähne insbesondere:
Lemma 10.2.14. Auf jeder stetigen endlichdimensionalen Darstellung einer
kompakten Liegruppe gibt es ein invariantes Skalarprodukt.
Satz 10.2.15 (Vollständige Reduzibilität). Jede stetige endlichdimensionale
Darstellung einer kompakten Liegruppe läßt sich als die direkte Summe
von einfachen Unterdarstellungen schreiben.
Satz 10.2.16 (Isotypische Zerlegung). Sei G eine kompakte Liegruppe
und L ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen komplexer einfacher
Darstellungen von G. So liefert für jede komplexe endlichdimensionale
Darstellung V von G das Auswerten einen Isomorphismus
L ⊗C Hom G C(L, V ) ∼ → V
L∈L