Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 185
Ergänzende Übung 4.3.6. Bei welchem Verhältnis zwischen Durchmesser und
Höhe umfaßt eine Konservendose mit fest vorgegebener Oberfläche das größtmögliche
Volumen?
Satz 4.3.7 (von Rolle). Seien a < b aus R gegeben und sei f : [a, b] → R
stetig auf dem kompakten Intervall [a, b] und differenzierbar auf dem offenen
Intervall (a, b). Gilt dann f(a) = f(b), so gibt es p ∈ (a, b) mit f ′ (p) = 0.
Beweis. Nach 3.4.3 gibt es Punkte p, q ∈ [a, b], an denen f sein Maximum und
sein Minimum annimmt. Liegt einer dieser Punkte im Innern (a, b) unseres
Intervalls, so verschwindet dort die Ableitung nach dem vorhergehenden Satz
und wir sind fertig. Nimmt f sein Maximum und sein Minimum auf dem Rand
des Intervalls an, so ist die Funktion f wegen unserer Annahme f(a) = f(b)
konstant und wir sind auch fertig.
Korollar 4.3.8 (Mittelwertsatz). Seien a < b aus R gegeben und sei f :
[a, b] → R stetig auf dem ganzen kompakten Intervall [a, b] und differenzierbar
auf dem offenen Intervall (a, b). So gibt es p ∈ (a, b) mit
f ′ (p) =
f(b) − f(a)
b − a
Beweis. Man wende den vorhergehenden Satz von Rolle 4.3.7 an auf die
Funktion g : [a, b] → R, g(x) = f(x) − f(a) − (x − a) f(b)−f(a)
, die aus f
b−a
entsteht durch “Subtraktion der globalen Sekanten”.
Übung 4.3.9. Eine differenzierbare Funktion auf einem halboffenen Intervall,
deren Ableitung beschränkt ist, ist gleichmäßig stetig.
Übung 4.3.10. Gegeben eine differenzierbare Funktion auf einem halboffenen
Intervall ist das Bild des fraglichen Intervalls unter der Ableitung unserer
Funktion wieder ein Intervall. Hinweis: Mittelwertsatz. Man beachte, daß die
Stetigkeit der Ableitung nicht vorausgesetzt wird.
Satz 4.3.11 (Erste Ableitung und Monotonie). Sei I ⊂ R ein halboffenes
Intervall und f : I → R eine differenzierbare Funktion. So gilt
f ′ > 0 ⇒ f wächst streng monoton
f ′ ≥ 0 ⇔ f wächst monoton
f ′ < 0 ⇒ f fällt streng monoton
f ′ ≤ 0 ⇔ f fällt monoton
f ′ = 0 ⇔ f ist konstant