Analysis

26 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
wenig durchsichtig. Zunächst prüfen wir für beliebiges n und jede natürliche
Zahl k ≥ 1 die Formel
n n n + 1
+ =
k − 1 k k
durch explizites Nachrechnen. Dann geben wir unserer Formel im Satz den
Namen A(n) und prüfen die Formel A(0) und zur Sicherheit auch noch A(1)
durch Hinsehen. Schließlich gilt es, den Induktionsschritt durchzuführen, als
da heißt, A(n + 1) aus A(n) zu folgern. Dazu rechnen wir
(a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n
und mit der Induktionsvoraussetzung
= (a + b) n
k n−k
k=0 a b
n
k
und durch Ausmultiplizieren
= n k+1 n−k n
k n−k+1
k=0 a b + k=0 a b
n
k
und Indexwechsel k = i − 1 in der ersten Summe
= n+1 i n−i+1 n
k n−k+1
i=1 a b + k=0 a b
n
i−1
dann mit k statt i und Absondern von Summanden
= an+1b0 + n n k n−k+1
k=1 a b +
k−1
+ n
k n−k+1 0 n+1
k=1 a b + a b
n
k
und nach Zusammenfassen der mittleren Summen
= an+1b0 + n
k n−k+1 0 n+1
k=1 a b + a b
n+1
k
und Einbeziehen der abgesonderten Summanden
= n+1
k n+1−k
k=0 a b
n+1
k
und folgern so tatsächlich A(n + 1) aus A(n).
1.1.26. Die Formel n n n+1
+ = für k ≥ 1 kann man zur effektiven
k−1 k k
Berechnung der Binomialkoeffizienten mit dem sogenannten Pascal’schen
Dreieck benutzen: Im Schema
n
k
n
k
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
seien die Einsen an den Rändern vorgegeben und eine Zahl in der Mitte
berechne sich als die Summe ihrer beiden oberen “Nachbarn”. Dann stehen in