Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1277
Beweis. Wir betrachten für ein halboffenes kompaktes reelles Intervall K ⊂
R mit 0 ∈ K den Raum
C 1 p(K, X)
aller stetig differenzierbaren Wege γ : K → X mit γ(0) = p und versehen
seinen Richtungsraum C 1 0(K, X) mit der Norm ϕ∞ + ˙ϕ∞ der gleichmäßigen
Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach II.7.5.31 erhalten
wir so einen vollständigen normierten Vektorraum. Nun betrachten wir in
unserem affinen Raum die offene Teilmenge C 1 p(K, U) aller in U verlaufenden
Wege und die Abbildung
F : R × C 1 p(K, U) → C(K, X)
(τ , γ) ↦→ ˙γ − τ(A ◦ γ)
Unter dieser Abbildung geht offensichtlich (τ, γ) nach Null genau dann, wenn
γ : K → U eine Integralkurve des reskalierten Feldes τA ist. Bezeichnet κ
den konstanten Weg bei p, so gilt insbesondere (0, κ) ↦→ 0. Wir wenden nun
den Satz über implizite Funktionen IV.4.2.8 an. Das Differential von F ergibt
sich mit Summenregel IV.1.4.4, Produktregel IV.1.4.5 und der anschließenden
Übung ?? zu
(d(τ,γ)F )(h, α) = ˙α − h(A ◦ γ) − τ(dA ◦ (γ, α))
wo wir dA : U × X → X, (x, v) ↦→ (dxA)(v) meinen. Insbesondere haben wir
(d(0,κ)F )(0, α) = ˙α. Nun ist C 1 0(K, X) → C(K, X), α ↦→ ˙α eine stetige lineare
Bijektion mit stetiger Umkehrung, eben dem Integrieren. Die Bedingungen
des Satzes über implizite Funktionen IV.4.2.8 sind also erfüllt und liefern uns
die Existenz eines Paars (A1, B1) mit 0 ∈ A1 ⊂◦ R und κ ∈ B1 ⊂◦ C 1 p(K, U)
derart, daß es für alle τ ∈ A1 genau ein γτ ∈ B1 gibt mit F (τ, γτ) = 0
alias mit γτ einer Integralkurve des reskalierten Vektorfelds τA. Gehen wir
nun etwa von K = [−1, 1] aus und wählen τ = 0 in A1, so ist γ(t) =
γτ(τ −1 t) eine auf (−τ, τ) definierte Integralkurve des Vektorfelds A zu p und
die Existenzaussage des Lemmas ist gezeigt. Seien andererseits γ : I → U
und φ : J → U Integralkurven mit demselben Anfangswert. Besteht I ∩J nur
aus dem Nullpunkt ist die Behauptung eh klar. Sonst ist I ∩J auch halboffen
und für alle τ ∈ [0, 1] sind die Abbildungen t ↦→ γ(τt) und t ↦→ φ(τt) auf I ∩J
definierte Integralkurven zu p des reskalierten Vektorfeld τA. Für hinreichend
kleines τ > 0 gibt es aber nach dem, was wir gezeigt haben, nur eine derartige
Integralkurve und damit folgt auch die zweite Behauptung des Lemmas.
Lemma 4.2.3. Ist X ein endlichdimensionaler reeller Raum, U ⊂◦ X offen
und A : U → X ein lipschitzstetiges Vektorfeld, so gibt es zu jedem Punkt p ∈