Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1327
1.1.10. Für die Ableitungen komplex differenzierbarer Funktionen mit gemeinsamem
Definitionsbereich gelten mithin die Summenregel und die
Produktregel oder Leibniz-Regel
(f + g) ′ = f ′ + g ′ und (fg) ′ = f ′ g + fg ′
Korollar 1.1.11 (Ableiten ganzzahliger Potenzen). Für alle n ∈ Z und
unter der Voraussetzung z = 0 im Fall n ≤ 0 ist die Ableitung der Funktion
z ↦→ z n die Funktion z ↦→ nz n−1 .
Beweis. Man zeigt das durch vollständige Induktion über n separat für n ≥ 0
und n ≤ −1.
Übung 1.1.12. Ein komplexes Polynom hat bei λ ∈ C eine mehrfache Nullstelle
genau dann, wenn auch seine Ableitung bei λ verschwindet.
Satz 1.1.13 (Kettenregel). Seien U, V ⊂ C Teilmengen und f : U → C
und g : V → C Funktionen und es gelte f(U) ⊂ V . Sei f komplex differenzierbar
bei p und g komplex differenzierbar bei f(p). So ist g ◦ f : U → C
komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
(g ◦ f) ′ (p) = g ′ (f(p)) · f ′ (p)
Beweis. Identisch zum Beweis im Reellen nach II.4.2.5. Man beachte, daß
nun rechts ein Produkt komplexer Zahlen steht.
Beispiel 1.1.14. Wir berechnen für λ, µ ∈ C und m ≥ 1 eine natürliche Zahl
die Ableitung der Funktion R → C gegeben durch f : t ↦→ (t 2 + λt + µ) m
und erhalten mit der Kettenregel f ′ (t) = (2t + λ)m(t 2 + λt + µ) m−1 . Schalten
wir noch eine differenzierbare Abbildung t : R → R, τ ↦→ t(τ) davor, so
ergibt sich die Ableitung der zusammengesetzten Funktion wieder mit der
Kettenregel zu
df
dτ
df dt
=
dt dτ = (2t(τ) + λ)m(t(τ)2 m−1 dt
+ λt(τ) + µ)
dτ
Proposition 1.1.15 (Quotientenregel). Sei U ⊂ C eine Teilmenge, f :
U → C eine Funktion ohne Nullstelle und p ∈ U ein Punkt.
1. Ist f komplex differenzierbar bei p, so ist auch z ↦→ 1/f(z) komplex
differenzierbar bei p und hat dort die Ableitung −f ′ (p)/f(p) 2 .
2. Ist zusätzlich g : U → C komplex differenzierbar bei p, so ist auch g/f
komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
′
g
(p) =
f
g′ (p)f(p) − g(p)f ′ (p)
f(p) 2