Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 231
eine Metrik. Wenn nichts anderes gesagt ist, fassen wir den R n stets auf als
einen metrischen Raum mit dem Betragsabstand als Metrik. Diese Metrik
ist zwar weniger anschaulich ist als der euklidische Abstand, läßt sich aber
einfacher handhaben.
Beispiel 6.2.4. Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist mit der induzierten
Metrik selbst ein metrischer Raum.
Definition 6.2.5. Sei X ein metrischer Raum. Für x ∈ X und ε > 0 bezeichne
B(x; ε) = {z ∈ X | d(x, z) < ε}
den ε-Ball um x oder auch die ε-Kugel um x oder auch die ε-Umgebung
von x.
Beispiel 6.2.6. Für den euklidischen Abstand im R 3 ist der Ball um x mit
Radius ε anschaulich tatsächlich ein Ball. Für den Betragsabstand hat B(x; ε)
dahingegen die Gestalt eines Würfels mit Mittelpunkt x und Seitenlänge 2ε.
Definition 6.2.7. Unter einer Umgebung eines Punktes in einem metrischen
Raum versteht man eine Teilmenge von besagtem Raum, die einen
ganzen Ball um unseren Punkt umfaßt.
6.2.8. Die Umgebungen eines Punktes im R n bezüglich der euklidischen Metrik
sind dieselben wie seine Umgebungen bezüglich der Betragsmetrik, was
man unschwer explizit prüft und was formal auch aus 6.9.21 folgen wird. Das
ist der Grund dafür, daß wir im Folgenden Definitionen nach Möglichkeit
mithilfe von Umgebungen formulieren, denn für so definierte Begriffe ist a
priori klar, daß im Fall des R n ihre Bedeutung nicht davon abhängt, ob wir
mit dem euklidischen Abstand oder mit dem Betragsabstand arbeiten.
6.2.9. Der Schnitt von endlich vielen Umgebungen eines Punktes in einem
metrischen Raum ist wieder eine Umgebung besagten Punktes. Je zwei verschiedene
Punkte eines metrischen Raums besitzen disjunkte Umgebungen.
Genauer sind für x, y mit d(x, y) = r > 0 die (r/2)-Bälle um x und y disjunkt.
In der Tat folgte für z aus dem Schnitt ja mit Hilfe der Dreiecksungleichung
r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) < r, also kann es solch ein z nicht geben.
Definition 6.2.10. Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen
heißt stetig im Punkt p ∈ X genau dann, wenn es für jede Umgebung
U von f(p) eine Umgebung U ′ von p gibt mit f(U ′ ) ⊂ U. Eine Abbildung
zwischen metrischen Räumen heißt stetig genau dann, wenn sie stetig ist in
jedem Punkt.