Analysis

744 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
ϕ([M]) = Φ(M)v, und das legt ϕ wegen der Linearität auf meßbaren Stufenfunktionen
und dann wegen der Stetigkeit auf allen quadratintegrierbaren
Funktionen fest.
3.9 Operationen von Maßen auf Darstellungen
3.9.1. Sei H ein Hilbertraum und Φ eine auf R definierte Teilung der Identität
von H und ρ : t ↦→ e i tx Φ〈x〉 die dazu wie in 3.8.1 gebildete unitäre
Darstellung von R in H. Wenn wir einmal von unserem Satz 3.8.1 ausgehen,
so kann man leicht sehen, daß für M ⊂ R beschränkt und meßbar das Bild
des zugehörigen Projektors (im Φ(M)) ⊂ H jeweils ganz aus differenzierbaren
Funktionen besteht und daß der infinitesimale Erzeuger dort durch das
Integral i tΦ〈t〉 beschrieben werden kann. Wir werden nun für jede unitäre
Darstellung der Gruppe R oder allgemeiner einer Geradengruppe G in einem
Hilbertraum H und jedes komplexe Maß µ ∈ M(R) bzw. µ ∈ M(G) einen
beschränkten Operator
µ∗ : H → H
einführen, die “Operation durch Konvolution”, von der wir später die Formel
µ∗ = µ ∧ (x)Φ〈x〉 zeigen werden. Die Konvolution mit µ wird also mit dem
Integral seiner Fouriertransformierten µ ∧ ∈ C b (R) nach dem zu unserer Darstellung
gehörigen projektorwertigen Maß übereinstimmen. Obwohl das alles
noch nicht bewiesen ist, zeigt es uns doch schon eine Möglichkeit, auch ohne
die Existenz von Φ zu kennen, gewisse Teilräume “mit Frequenzbeschränkungen”
zu definieren. Beim Beweis des folgenden technischen Lemmas, das wir
bei unserer Herleitung der Spektralzerlegung unitärer Darstellungen von R
gebraucht und bereits im Vorgriff verwendet haben, ist dann der wesentliche
Punkte der Nachweis, daß diese Teilräume aus differenzierbaren Vektoren
bestehen und daß ihre Vereinigung dicht liegt.
Lemma 3.9.2. Es ist möglich, simultan in jeder unitären Darstellung H von
R eine aufsteigende Folge von unitären Unterdarstellungen H0 ⊂ H1 ⊂ . . . so
zu wählen, daß (1) in jedem Hi jeder Vektor differenzierbar ist, daß (2) deren
Vereinigung dicht liegt, und daß (3) jeder Verflechtungsoperator H → H ′
auch Hi nach H ′ i abbildet.
Beweis. In 3.9.10 werden wir zu jeder abgeschlossenen Teilmenge C ⊂ V R eine
unitäre Unterdarstellung HC ⊂ H erklären und zwar derart, daß aus C ⊂ D
folgt HC ⊂ HD und daß jeder Verflechtungsoperator H → H ′ auch HC in H ′ C
abbildet. In 3.9.13 zeigen wir, daß für C kompakt HC aus differenzierbaren
Vektoren besteht. Aus 3.9.14 folgt schließlich, daß die Vereinigung der besagten
Unterdarstellungen zu den kompakten Intervallen [−n, n] dicht liegt in
unserer ursprünglichen Darstellung.