Analysis

1116 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
12.4 Unitäre Induktion
12.4.1. Ist X eine n-Mannigfaltigkeit, so liefert jede endlichdimensionale C∞- Darstellung E der Gruppe GL(n, R) ein Vektorraumbündel EX auf X in
kanonischer Weise, und ist ϕ : U ↩→ X eine offene Einbettung oder allgemeiner
eine étale C∞-Abbildung, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus
ϕ ∗ EX
∼
→ EU, der es uns insbesondere erlaubt, Schnitte zurückzuziehen. Zur
natürlichen Darstellung auf R n gehört das Tangentialbündel T X, zu ihrer
Dualen das Kotangentialbündel T ∗ X, zu det −1 : GL(n, R) → R × das sogenannte
kanonische Bündel ωX und zu | det −1 | : GL(n, R) → R × das
Bündel der lokalen Dichten
DX
Die Schnitte in diesem Bündel nennen wir Dichten auf X und notieren die
stetigen Dichten bzw. die stetigen Dichten mit kompaktem Träger D(X) ⊃
Dc(X). Auf U ⊂◦ R n definieren wir eine ausgezeichnete Dichte d n x, und eine
beliebige stetige Dichte hat die Gestalt a d n x mit a : U → R stetig. Ist
weiter V ⊂◦ R n gegeben und ϕ : V → U étale, so haben wir ϕ ∗ (a d n x) =
(a ◦ ϕ)| det dϕ| d n x.
Satz 12.4.2 (Integration von Dichten). Gegeben eine n-Mannigfaltigkeit
X gibt es genau eine R-lineare Abbildung Dc(X) → R, ω ↦→
ω derart, daß
X
für jede Karte ϕ : U → X und jedes ω mit Träger in U gilt
ω =
X
U ϕ∗ ω.
Beweis. Dem Leser überlassen.
Definition 12.4.3. Das Geradenbündel zur Darstellung | det −1 | : GL(n, R) →
R × nennen wir das Bündel der lokalen Halbdichten auf X und notieren
es D 1/2
X . Die Räume der Schnitte bzw. der Schnitte mit kompaktem Träger
in dieses Bündel bezeichnen mit
D 1/2 (X) ⊃ D 1/2
c (X)
und nennen solche Schnitte Halbdichten auf X.
12.4.4. Ganz offensichtlich ist das Produkt zweier Halbdichten eine Dichte,
und wir erhalten ein Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum D 1/2
c (X) der
stetigen Halbdichten mit kompaktem Träger auf X durch die Vorschrift
〈s, t〉 = st
Die Vervollständigung dieses Raums notieren wir L 2 (X) und haben somit
jeder Mannigfaltigkeit X in kanonischer Weise einen reellen Hilbertraum zugeordnet,
den Hilbertraum der quadratintegrierbaren Halbdichten
X