Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 507
wählen wir zunächst offene Umgebungen V ⊂◦ U von p und W ⊂◦ X von Null
mit V + W ⊂ U. Weiter wählen wir eine Norm auf X. Dann betrachten wir
für ein halboffenes kompaktes reelles Intervall I ⊂ R mit 0 ∈ I den affinen
Raum
C 1 p(I, X)
aller stetig differenzierbaren Wege γ : I → X mit γ(0) = p und versehen seinen
Richtungsraum C 1 0(I, X) mit der Norm ϕ∞ + ϕ ′ ∞ der gleichmäßigen
Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach III.1.3.11 erhalten wir
so einen reellen Banachraum. Nun betrachten wir die Abbildung
F : R × V × C 1 0(I, W ) → C(I, X)
(τ , q , ψ) ↦→ ψ ′ − τ(A ◦ (q + ψ))
Genau dann wird (τ, q, ψ) auf Null abgebildet, wenn t ↦→ γ(t) = q + ψ(t)
eine Integralkurve des reskalierten Vektorfelds τA zum Anfangswert γ(0) =
q ist. Nach Summenregel 1.4.4, Produktregel 1.4.5 und dem im Anschluß
bewiesenen Lemma 5.5.4 ist F differenzierbar mit Differential
(d(τ,q,ψ)F )(h, v, α) = α ′ − h(A ◦ (q + ψ)) − τ((dA) ◦ (q + ψ, v + α))
Insbesondere gilt (d(0,p,0)F )(0, 0, α) = α ′ , und da α ↦→ α ′ eine stetige und stetig
umkehrbare Bijektion C 1 0(I, X) ∼ → C(I, X) definiert und F nach unserer
Formel stetig differenzierbar ist, dürfen wir den Satz über implizite Funktionen
4.2.8 anwenden. Er liefert uns ein Paar (A1, B1) mit (0, p) ∈ A1 ⊂◦ R × V
und 0 ∈ B1⊂◦ C 1 0(I, W ) derart, daß es für jedes (τ, q) ∈ A1 genau ein ψτ,q ∈ B1
gibt, für das γτ,q = q +ψτ,q eine auf I definierte Integralkurve des reskalierten
Vektorfelds τA mit Anfangswert q ist. Wählen wir also etwa I = [−1, 1], so
finden wir in A1 eine offene Umgebung von (0, p) der Gestalt (−η, η)×D, und
daselbst ist dann auch der Fluß definiert. Da Integralkurven unter Zeitverschiebung
Integralkurven bleiben, zeigt das schon mal, daß unser Fluß einen
offenen Definitionsbereich hat. Weiter ist F nach obiger Formel für sein Differential
sogar von der Klasse C k im Sinne von 5.4.6. Damit zeigt der Satz über
implizite Funktionen mit den Resultaten und Definitionen von 5.4 aber auch,
daß die Zuordnung (τ, q) ↦→ γτ,q eine C k -Abbildung (−η, η) × D → C 1 (I, U)
ist. Verknüpfen wir diese mit dem Auswerten an einer festen Stelle t ∈ I\0,
einer stetigen affinen Abbildung, und beachten γτ,q(t) = γq(τt), so folgt, daß
der Fluß selbst eine C k -Abbildung ist.
Lemma 5.5.4. Seien X, Y normierte Räume, U ⊂◦ X eine offene Teilmenge
und A : U → Y stetig differenzierbar. Für jedes Kompaktum K ist dann auch
die Abbildung (A◦) : C(K, U) → C(K, Y ) differenzierbar und ihr Differential