Analysis

284 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
der Tat wissen wir nach 5.1.15, daß man Potenzreihen gliedweise differenzieren
darf, und unsere Formel ergibt sich, wenn wir diese Erkenntnis anwenden
auf alle Einträge unserer Matrix. Nach Lemma 7.2.6 ist nun auch
die Abbildung γ : R → R n , t ↦→ exp(tM)c differenzierbar mit Ableitung
γ ′ (t) = M exp(tM)c = Mγ(t), und die Bedingung γ(0) = c ist offensichtlich.
Unsere Funktion ist damit eine Lösung der Differentialgleichung mit dem
vorgegebenen Anfangswert. Ist umgekehrt γ(t) eine beliebige Lösung unserer
Differentialgleichung γ ′ = Mγ, so berechnen wir die Ableitung der Funktion
t ↦→ h(t) = exp(−tM)γ(t) mithilfe der matrixwertigen Produktregel 7.2.16
und erhalten
h ′ (t) = −M exp(−tM)γ(t) + exp(−tM)γ ′ (t) = 0
Die Funktion h(t) = exp(−tM)γ(t) ist also konstant mit Wert γ(0) und mit
dem anschließenden Lemma 7.4.11 folgt γ(t) = exp(tM)γ(0).
Lemma 7.4.11. Die Exponentialabbildung wirft die Null auf die Identität,
und sind A, B zwei kommutierende quadratische Matrizen, in Formeln AB =
BA, so gilt
exp(A + B) = (exp A)(exp B)
7.4.12. Insbesondere folgt exp(−A) = (exp A) −1 . Die Exponentialabbildung
ist mithin eine Abbildung von der Menge aller quadratischen Matrizen in die
Menge aller invertierbaren quadratischen Matrizen
exp : M(n × n; R) → GL(n; R)
Für den Beweis des Lemmas geben wir zunächst nur eine Skizze, die dann
im anschließenden Abschnitt ausgemalt wird.
Beweisskizze. Genau wie bei der Diskussion des Produkts absolut konvergenter
Reihen in 2.6.11 zeigt man
(exp A)(exp B) =
(i,j)∈N×N
A i B j
i!j!
Dann faßt man mithilfe von 7.5.20 die Terme mit i + j = k zusammen
und landet wegen AB = BA wie beim Beweis der Funktionalgleichung der
Exponentialfunktion bei der Reihe für exp(A + B). Um das alles formal zu
rechtfertigen, kann man mit den einzelnen Matrixeinträgen argumentieren
und sich so auf unsere Resultate über Reihen reeller Zahlen zurückziehen.
Ich will aber stattdessen diese Schwierigkeit als Motivation nutzen und gleich
im nächsten Abschnitt 7.5 eine allgemeine Begrifflichkeit entwickeln, in der
dieser Beweis einfach und natürlich wird und die auch darüber hinaus von
Nutzen ist.