Analysis

448 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beispiel 4.2.9. Wir betrachten f(z, x) = x 3 +zx 2 −3 als eine Schar von Polynomen
in x mit Parameter z. Für z = 2 ist x = 1 eine Nullstelle, f(2, 1) = 0.
Wir wollen nun untersuchen, wie diese Nullstelle “mit dem Parameter z wackelt”,
und wenden dazu den Satz über implizite Funktionen an. Die partielle
Ableitung nach x ist fx = 3x 2 +2zx, insbesondere haben wir fx(2, 1) = 7 = 0
und nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es folglich ε > 0 und δ > 0
derart, daß für alle z ∈ (2 − ε, 2 + ε) das Polynom f(z, ) genau eine Nullstelle
x = g(z) ∈ (1 − δ, 1 + δ) hat. Diese Funktion g ist zwar schwer explizit
anzugeben, aber der Satz sagt uns, daß sie in einer Umgebung von z = 2
differenzierbar ist, und ihre Ableitung bei z = 2 kennen wir auch: Wir haben
nämlich fz = x 2 , fz(2, 1) = 1 und folglich
g ′ (2) = −fx(2, 1) −1 fz(2, 1) = − 1
7
Betrachten wir stattdessen h(z, x) = x 2 − z, so ist für z = 0 natürlich x = 0
eine Nullstelle, aber Entsprechendes gilt keineswegs: Schieben wir z etwas ins
Negative, so hat h(z, ) überhaupt keine reelle Nullstelle mehr, schieben wir
z dahingegen etwas ins Positive, so werden aus unserer Nullstelle plötzlich
zwei Nullstellen, wie das nebenstehende Bild illustriert. Das zeigt, daß die
Bedingung an die Ableitung auch wirklich notwendig ist.
4.2.10. Ich will den Satz über implizite Funktionen auch noch in Koordinaten
angeben. Seien dazu C ⊂◦ R n und A ⊂◦ R m offen, f : C × A → R m stetig differenzierbar
und z1, . . . , zn, x1, . . . , xm unsere “Parameter” und “Unbekannten”.
So gilt:
1. Ist die Matrix ∂fi
∂xj
m
i,j=1
nicht ausgeartet an einer Stelle (c, a) ∈ C × A, so existieren Tripel
(C1, A1, g) bestehend aus einer offenen Umgebung C1 ⊂◦ C von c, einer
offenen Umgebung A1 ⊂◦ A von a und einer stetig differenzierbaren
Funktion g : C1 → A1 derart, daß an jeder Stelle z ∈ C1 der Wert g(z)
das einzige x ∈ A1 ist mit f(z, x) = f(c, a).
2. Die partiellen Ableitungen der Komponenten von g werden dann gegeben
durch die Matrix-Gleichung
∂gj ∂fi
= −
∂zk ∂xj
z
(z,g(z))
−1
∂fi
∂zk
(z,g(z))