Analysis

44 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Übung 2.1.19. Sind X und Y endliche Mengen, so gilt für die Kardinalitäten
|X × Y | = |X| · |Y | und |X ∪ Y | = |X\Y | + |X ∩ Y | + |Y \X|.
Satz 2.1.20 (Bedeutung der Binomialkoeffizienten). Gegeben n, k ∈ N
gibt der Binomialkoeffizient n
die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer
k
n-elementigen Menge an, in Formeln:
|X| = n impliziert |{Y ⊂ X | |Y | = k}| = n
k
Beweis. Vollständige Induktion über n. Für n = 0 gilt die Aussage, denn eine
nullelementige Menge hat genau eine k-elementige Teilmenge falls k = 0 und
keine k-elementige Teilmenge falls k ≥ 1. Nehmen wir nun an, die Aussage
sei für ein n schon bewiesen. Eine (n + 1)-elementige Menge X schreiben
wir als X = M ∪ {x}, wo M eine n-elementige Menge ist und x ∈ M. Ist
k = 0, so gibt es genau eine k-elementige Teilmenge von M ∪ {x}, nämlich
die leere Menge. Ist k ≥ 1, so gibt es in M ∪ {x} nach Induktionsannahme
genau n
k-elementige Teilmengen, die x nicht enthalten. Die k-elementigen
k
Teilmengen dahingegen, die x enthalten, ergeben sich durch Hinzunehmen
von x aus den (k − 1)-elementigen Teilmengen von M, von denen es gerade
n
n n n+1
gibt. Insgesamt hat M ∪ {x} damit also genau + =
k−1
k-elementige Teilmengen.
Bemerkung 2.1.21. Wieder scheint mir dieser Beweis in der für vollständige
Induktion typischen Weise undurchsichtig. Ich ziehe deshalb den in 1.1.19
gegebenen weniger formellen Beweis vor. Man kann auch diesen Beweis formalisieren
und verstehen als Spezialfall der sogenannten “Bahnformel” ??,
vergleiche ??.
Bemerkung 2.1.22. Wir geben nun die versprochene präzise Formulierung
unseres ersten Beweises der binomischen Formel 1.1.23. Wir rechnen dazu
(a + b) n =
a |Y | n−|Y |
b
Y ⊂{1,2,...,n}
Die rechte Seite soll hier in Verallgemeinerung der in Abschnitt 1.1 eingeführten
Notation bedeuten, daß wir für jede Teilmenge Y von {1, 2, . . . , n}
den angegebenen Ausdruck a |Y | b n−|Y | nehmen und alle diese Ausdrücke aufsummieren.
Dann fassen wir gleiche Summanden zusammen und erhalten mit
2.1.20 die binomische Formel.
Ergänzende Übung 2.1.23. Es gilt
k
n n = 2 .
k
Ergänzung 2.1.24 (Das Russell’sche Paradoxon). Ich will nicht verschweigen,
daß der in diesem Abschnitt dargestellte naive Zugang zur Mengenlehre
k
k−1
k