Analysis

1198 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
2 Unausgegorenes zum Lebesgue-Integral
2.1 Dichten
Definition 2.1.1. Wohin? Unter einer Dichte auf einer Mannigfaltigkeit
verstehen wir ein Borelmaß, für das das Bild einer Lebesgue-Nullmenge unter
einer Karte stets eine Nullmenge ist. Unter einer Dichte auf einer Mannigfaltigkeit
verstehen wir eine Vorschrift D, die jeder Karte (Wα, ϕα) eine
meßbare Funktion Dα : Wα → [0, ∞) zuordnet derart, daß für alle Kartenwechsel
ϕβα : Wαβ → Wβα auf Wαβ gilt
Dα = (Dβ ◦ ϕβα)| det dϕαβ|
Sind alle die Funktionen Dα stetig bzw. positiv, so sprechen wir von einer
stetigen bzw. positiven Dichte.
Proposition 2.1.2 (Maß zu einer Dichte). Gegeben eine Dichte D auf
einer Mannigfaltigkeit M gibt es genau ein topologisches Maß µ = µD auf
M derart, daß für jede Karte (Wα, ϕα) und jede topologisch meßbare Menge
A ⊂ ϕα(Wα) gilt
µ(A) =
ϕ −1
α (A)
Dα(x) d k x
Jede in M enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist für solch
ein Maß eine Nullmenge und jede stetige Dichte liefert ein Borelmaß.
Beispiel 2.1.3. Auf jeder Untermannigfaltigkeit eines R n erhalten wir eine
positive stetige Dichte, indem wir jeder Karte (Wα, ϕα) die Funktion Dα(x) =
vol(dxϕα) auf Wα zuordnen. Das zu dieser Dichte gehörige Maß ist dann
genau unser Flächenmaß aus IV.6.9.1.
Beweis. Sehr ähnlich zum Beweis von IV.6.9.1 und dem Leser überlassen.
2.2 Translationsinvariante Maße auf Produkträumen
Das soll ganz woanders hin!
Lemma 2.2.1. Gegeben ein lokal kompakter separabler Hausdorffraum X
liefert das Bilden des Produkts mit dem Lebesguemaß λ eine Bijektion
Topologische Maße auf X,
die endlich sind auf Kompakta
∼→
⎧
⎫
⎨ Topologische Maße auf X × R, ⎬
die endlich sind auf Kompakta
⎩
⎭
und invariant unter Translation
µ ↦→ µ ⊗ λ