Analysis

736 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Übung 3.6.24. Man folgere aus dem Spektralsatz: Ist µ ein kompakt getragenes
Borelmaß auf R und T die Multiplikation mit x auf L 2 (R; µ), so ist der
Projektor Φ(M) der zugehörigen Teilung Φ der Identität für eine Borelmenge
M ⊂ R gerade die Multiplikation mit der charakteristischen Funktion [M]
von M und der Operator fΦ für f ∈ L ∞ (R) ist schlicht die Multiplikation
(f·) : L 2 (R; µ) → L 2 (R; µ). Hinweis: Man berechne ( xΦ〈x〉)(h) für h
quadratintegrierbar vermittels einer Approximation der Identität auf einem
geeigneten Kompaktum von R durch immer feinere Stufenfunktionen.
3.7 Beweis des Spektralsatzes
3.7.1. Das folgende Diagramm faßt den Aufbau des sogenannten “Funktionalkalküls”
in der hier gegebenen Darstellung zusammen:
C(R)
Cc(R)
L
∞ (R)
L
2
(R; µv)
C[X]
C[t]
C(σ(T ))
L
∞ (σ(T ))
L
2 (σ(T ); µv)
ϕv
H
·v
B(H)
Wir gehen aus von der Vertikale links außen, dem Einsetzen unseres selbstadjungierten
Operators T in Polynome aus C[X]. Nach dem polynomialen
spektralen Abbildungssatz und der Gleichheit von Norm und Spektralradius
faktorisiert sie über den Ring C[t] aller polynomialen Funktionen auf dem
Spektrum, und zwar durch eine in Bezug auf die sup-Norm stetige Abbildung,
die sich von dort mithilfe des Approximationssatzes von Weierstraß stetig auf
den Ring C(σ(T )) aller stetigen Funktionen auf dem Spektrum fortsetzen läßt.
Gegeben ein Vektor v ∈ H führt diese Fortsetzung zu einer nichtnegativen
Linearform f ↦→ 〈v, f(T )v〉 auf Cc(R) und mit dem Riesz’schen Darstellungssatz
zum sogenannten Spektralmaß µv unseres Vektors und wieder durch
stetige Fortsetzung zur kanonischen Einbettung ϕ : L 2 (R; µv) ↩→ H, die im