Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 881
Dasselbe gilt analog auch für rechtsinvariante Vektorfelder.
Beweis. Wir können die inverse Abbildung explizit angeben, indem wir zu
Ae ∈ TeG das Vektorfeld A : G → TG bilden, das jedem g ∈ G den Wert des
Differentials an die Multiplikation TG × TG ∼ → T(G × G) → TG auf (g, Ae)
zuordnet.
Übung 4.5.11. Für welche Funktionen f(x, y) und g(x, y) ist f∂x + g∂y ein
linksinvariantes Vektorfeld auf C × , wo x den Realteil und y den Imaginärteil
einer komplexen Zahl bedeuten mögen?
Übung 4.5.12. Für welche Funktionen f(a, b) und g(a, b) ist f∂a + g∂b ein
linksinvariantes Vektorfeld auf der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit
zwei Zeilen und Spalten und Determinante Eins, wo a und b die beiden Einträge
der ersten Zeile bedeuten mögen?
4.6 Integralkurven und Flüsse
Definition 4.6.1. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit und A : X → TX ein
Vektorfeld. Eine Integralkurve unseres Vektorfelds ist eine differenzierbare
Abbildung γ : I → X von einem halboffenen Intervall I ⊂ R nach X mit
˙γ(t) = A(γ(t)) ∀t ∈ I
Eine maximale Integralkurve ist eine Integralkurve, die nicht zu einer
auf einem echt größeren reellen Intervall definierten Integralkurve erweitert
werden kann. Ist p ∈ X gegeben, so verstehen wir unter einer Integralkurve
mit Anfangswert p oder kurz einer Integralkurve zu p eine Integralkurve
(γ, I) mit 0 ∈ I und γ(0) = p.
Übung 4.6.2. Verwandte Vektorfelder haben verwandte Integralkurven. Ist
genauer φ : X → Y eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten und ist
A ein Vektorfeld auf X und B ein dazu unter φ verwandtes Vektorfeld auf
Y , so ist für jede Integralkurve γ von A auch φ ◦ γ eine Integralkurve von B.
Satz 4.6.3 (Picard-Lindelöf auf Mannigfaltigkeiten). Gegeben ein glattes
Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit gibt es zu jedem Anfangswert
eine größte Integralkurve, und diese hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall.
Ergänzung 4.6.4. Die weitergehenden Aussagen von IV.5.2.6 übertragen sich
entsprechend, aber die Übertragung ihres Beweises benötigt Hilfsmittel, die
uns hier noch nicht zur Verfügung stehen.