Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1043
1. Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Linkstranslaten einen
endlichdimensionalen komplexen Untervektorraum im Raum aller Funktionen
auf unserer Gruppe auf;
2. Unsere Funktion spannt zusammen mit ihren Rechtstranslaten einen
endlichdimensionalen komplexen Untervektorraum im Raum aller Funktionen
auf unserer Gruppe auf;
3. Unsere Funktion ist ein Matrixkoeffizient einer stetigen endlichdimensionalen
Darstellung unserer Gruppe.
Analoges gilt für reellwertige Funktionen und allgemeiner für Funktionen mit
Werten in einem beliebigen topologischen Körper.
Beweis. Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung V einer topologischen
Gruppe G liefern die Matrixkoeffizienten eine (G × G)-äquivariante
Abbildung V ∗ ⊗ V → C(G). Damit erhalten wir sofort 3 ⇒ 1&2. Ist umgekehrt
f : G → C stetig und spannt mit ihren Rechtstranslaten einen endlichdimensionalen
Teilraum von V ⊂ C(G) auf, so finden wir für diesen Teilraum
eine Basis von gewissen `x1f, . . . , `xnf. Da eine Funktion, die an jeder Stelle
verschwindet, schon identisch null ist, finden wir Stellen y1, . . . , yn ∈ G
derart, daß die Auswertungen dort eine Basis des Dualraums V ∗ liefern. Da
die zugehörigen Matrixkoeffizienten g ↦→ (`g`xif)(yj) = f(yjgxi) alle stetig
sind, muß V eine stetige Darstellung von G sein. Und nun ist f eben der
Matrixkoeffizient dieser stetigen endlichdimensionalen Darstellung zum Vektor
f ∈ V und dem Auswerten am neutralen Element ϕ ∈ V ∗ . Das zeigt
2 ⇒ 3. Spannt schließlich f mit seinen Linkstranslaten einen endlichdimensionalen
Raum auf, so auch f ◦inv mit seinen Rechtstranslaten, also ist f ◦inv
Matrixkoeffizient einer endlichdimensionalen Darstellung und dann ist f ein
Matrixkoeffizient der kontragredienten Darstellung.
10.5.6 (Die Ringalgebra der darstellenden Funktionen). Sei G eine
topologische Gruppe. Die darstellenden Funktionen bilden in C(G) eine unter
der komplexen Konjugation stabile Unterringalgebra
R(G)
Ist in der Tat f = cϕ,v für v ∈ V und ϕ ∈ V ∗ , so haben wir ¯ f = c ¯ϕ,¯v für
¯v ∈ V , ¯ϕ ∈ V ∗ im Sinne von ??. Spannen weiter f1, . . . , fd und h1, . . . , hs
jeweils einen unter Linkstranslation invarianten Teilraum von C(G) auf, so
gilt offensichtlich dasselbe für die Produkte fihj.
Ergänzende Übung 10.5.7. Sei G eine kompakte Liegruppe und f : G → C
eine darstellende Funktion mit f(e) = 1. Gibt es stets eine stetige Darstellung
ρ : G → GL(n; C), für die wir f = ρ11 haben?