Analysis

1392 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Proposition 3.1.5. Nimmt eine harmonische Funktion auf einer zusammenhängenden
offenen Teilmenge eines R n ihr Maximum oder ihr Minimum
an, so ist sie konstant.
Beweis. Die Menge aller Stellen, an denen eine stetige Funktion ihr Maximum
oder auch irgendeinen anderen festen Wert annimmt, ist stets abgeschlossen.
Ist unsere Funktion harmonisch und nimmt sie ihr Maximum bei p
an, so muß andererseits unsere Funktion auf einer ganzen Kreisscheibe bzw.
Kugel B(p; ε(p)) um p konstant sein, da sonst der Durchschnitt über die
Funktionswerte auf gewissen Kreisringen bzw. Kugelschalen um p zu klein
wäre. Die Menge der Stellen, an denen das Maximum angenommen wird, ist
also auch offen. Ist der Definitionsbereich wegzusammenhängend, so ist diese
Menge nach IV.3.4.16 folglich alles oder nichts.
Lemma 3.1.6. Je zwei stetige Funktionen auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe,
die im Inneren harmonisch sind und auf dem Rand übereinstimmen,
stimmen auf der ganzen Kreisscheibe überein.
Ergänzung 3.1.7. Analoges gilt mit demselben Beweis in allen Dimensionen.
Beweis. Die Differenz unserer beiden Funktionen ist stetig, verschwindet auf
dem Rand unserer Kreisscheibe und ist im Inneren harmonisch. Als stetige
Funktion muß sie auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ihr Maximum und
ihr Minimum annehmen. Wäre eines von diesen nicht Null, so würde es im
Innern unserer Kreisscheibe angenommen im Widerspruch zu 3.1.5. Also sind
das Maximum und das Minimum beide Null und die Differenz verschwindet
auf der ganzen Kreisscheibe.
Satz 3.1.8 (Charakterisierung harmonischer Funktionen). Eine stetige
reellwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge der Ebene ist harmonisch
genau dann, wenn sie zweimal stetig reell differenzierbar ist und vom
Laplaceoperator ∆ = ∂ 2 x + ∂ 2 y annulliert wird.
Satz 3.1.9 (Harmonizität und Holomorphie). Der Realteil einer holomorphen
Funktion ist stets harmonisch. Jede reelle harmonische Funktion
mit einfach wegzusammenhängendem Definitionsbereich ist umgekehrt der
Realteil einer holomorphen Funktion, und diese ist bis auf eine additive rein
imaginäre Konstante sogar eindeutig bestimmt.
Beispiel 3.1.10. Die Funktion C × → R, z ↦→ log |z| alias R 2 \0 → R, (x, y) ↦→
(1/2) log(x 2 +y 2 ) ist harmonisch. In der Tat ist sie auf jeder geschlitzten Ebene
der Realteil jedes Zweiges des komplexen Logarithmus, und diese Zweige
sind holomorph als Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Exponentialfunktion.