Analysis

332 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
mit komplexen ci. Nimmt man hier zum Beispiel c1 = c2 = 1, so ergibt sich
die Lösung
x(t) = 2 cos((ω1 − ω2)t/2) cos((ω1 + ω2)t/2)
y(t) = 2 sin((ω1 − ω2)t/2) sin((ω1 + ω2)t/2)
Ist die verbindende Feder schwach im Verhältnis zu den Federn gegen die
Wände, in Formeln a ≫ b, so liegen die beiden Eigenwerte λ1, λ2 und damit
auch die Winkelgeschwindigkeiten ω1, ω2 verhältnismäßig nah beieinander.
Im Versuch kann man in diesem Fall schön sehen, wie die beiden Wägelchen
mit der Winkelgeschwindigkeit (ω1 − ω2)/2 ihre Energie untereinander
austauschen.
2.3.2. Im Übrigen ist es auch a priori klar, daß in der symmetrischen Situation
die zweielementige Symmetriegruppe unserer Gleichung, die der Vertauschung
der beiden Wägelchen entspricht, auf dem Lösungsraum operieren
muß, daß wir also uns schon von Anfang an hätten darauf beschränken dürfen,
nur die symmetrischen und die antisymmetrischen Lösungen zu bestimmen
und die allgemeine Lösung als Linearkombination solcher speziellen Lösungen
zu erhalten.
2.4 Angeregte Schwingungen
2.4.1. Ist wieder A eine komplexe (n × n)-Matrix und ist zusätzlich eine
stetige Funktion f : R → C n vorgegeben und man sucht alle differenzierbaren
γ : R → C n , die das “inhomogene” System von Differentialgleichungen
˙γ(t) = Aγ(t) + f(t)
lösen, so rät einem die Methode der Variation der Konstanten zum Ansatz
γ(t) = exp(tA)g(t)
Man erkennt leicht, daß dieser Ansatz eine Lösung liefert, wenn g : R → C n
differenzierbar ist und die Gleichung f(t) = exp(tA) ˙g(t) erfüllt, als da heißt
für
g(t) =
t
exp(−τA)f(τ) dτ
wobei g(t) als unbestimmes Integral natürlich nur bis auf eine additive Konstante
aus dem C n wohldefiniert ist. Daß wir mit diesem Verfahren tatsächlich
auch alle Lösungen γ(t) unseres inhomogenen Systems von Differentialgleichungen
erhalten ergibt sich daraus, daß ja ganz offensichtlich die Differenz