Analysis

224 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
wobei die letzte Identität nur für n ≥ 1 stimmt. Setzen wir nun alles zusammen,
so ergibt sich wie gewünscht
Cn = 1
n + 1
2n
n
5.4 Der Abel’sche Grenzwertsatz*
5.4.1. In diesem Abschnitt will ich mein Versprechen einlösen und die Formel
1 − 1 1 1
+ − + . . . = log 2
2 3 4
zeigen. Wenn wir x = 1 in die Reihenentwicklung von log(1 + x) einsetzen
dürften, so folgte das sofort. Die Schwierigkeit liegt darin, daß wir bisher nur
für |x| < 1 nachgewiesen haben, daß unsere Potenzreihe aus 5.1.21 gegen
log(1 + x) konvergiert. Der folgende Satz hilft uns, diese Schwierigkeit zu
überwinden, und wird auch in 7.6.16 bei der Herleitung der wunderbaren
Formel π
1 1 1
= 1 − + − . . . benötigt. Beide Formeln sehe aber mehr als
4 3 5 7
schöne Blüten und weniger als zentrale Inhalte an, und davon abgesehen spielt
der abelsche Grenzwersatz im weiteren Verlauf der Vorlesung keine Rolle.
Satz 5.4.2 (Abel’scher Grenzwertsatz). Konvergiert eine Potenzreihe
auch noch auf einem Randpunkt ihres Konvergenzbereichs, so stellt sie bis in
diesen Randpunkt hinein eine stetige Funktion dar.
Vorschau 5.4.3. Für diejenigen Leser, die bereits mit komplexen Potenzreihen
vertraut sind, sei bemerkt, daß die entsprechende Aussage im Komplexen in
dieser Form nicht mehr gilt. Mehr dazu finden Sie etwa in VIII.1.7.14.
Beweis. Wir dürfen ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß
x = 1 der besagte Randpunkt des Konvergenzbereichs ist. Sei also ∞ k=0 ak
eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Wir müssen zeigen, daß die Reihe
f(x) = ∞ k=0 akxk für x ∈ [0, 1] eine stetige Funktion darstellt. Dazu schreiben
wir die Differenzen der Partialsummen in der Form
m k=n akxk = (xn − xn+1 +
)
(x
(an)
n+1 − xn+2 ) (an + an+1)
+ (xn+2 − xn+3 ) (an + an+1 + an+2)
. . . . . .
+ (xm−1 − xm ) (an + . . . . . . . . . + am−1)
+ xm (an + . . . . . . . . . + am−1 + am)