Analysis

570 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
7 Der Satz von Stokes
Im vorigen Abschnitt haben wir unser Kurvenintegral aus II.7.3.6 verallgemeinert
zum Integral einer Funktion über eine Unterannigfaltigkeit eines R n .
In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus 3.3, d.h. das Integral
eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum längs eines
Weges verallgemeinern zum Integral einer “k-Form” auf einem endlichdimensionalen
reellen Raum über eine“orientierte”k-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Als Spezialfälle enthält diese Konstruktion inbesondere die Definition
des “Flusses eines Vektorfelds in R 3 durch eine orientierte Fläche in R 3 ”. Unser
eigentliches Ziel ist dann der sogenannte “allgemeine Satz von Stokes”
7.8.1, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung II.4.5.1 auf
höhere Dimensionen verallgemeinert.
7.1 Multilineare Algebra und Dachprodukt
Definition 7.1.1. Sei k ein Körper. Gegeben ein k-Vektorraum V und eine
natürliche Zahl p bilden wir den Raum der alternierenden p-Multilinearformen
oder kurz p-Formen
Alt p V := {ω : V × . . . × V → k | ω ist multilinear und alternierend}
Hier meint alternierend wie in ??, daß ω(v1, . . . , vp) verschwindet, wann immer
es i = j gibt mit vi = vj.
7.1.2. Hat unser Körper nicht die Charakteristik 2, so ist es gleichbedeutend
zu fordern, daß ω(v1, . . . , vp) sein Vorzeichen ändert wenn man zwei
Einträge vi und vj vertauscht, daher die Bezeichnung “alternierend”. Unter
Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen wir also Alt 0 V = k.
Einsformen sind Elemente des Dualraums alias Linearformen, wir haben also
Alt 1 V = V ⊤ . Gegeben Linearformen f1, . . . , fp ∈ V ⊤ definieren wir ein
Element alt(f1, . . . , fp) ∈ Alt p V durch die Vorschrift
alt(f1, . . . , fp)(v1, . . . , vp) := det(fi(vj))
7.1.3. Wir werden unmittelbar im Anschluß das Dachprodukt von alternierenden
Multilinearformen einführen und dessen Assoziativität beweisen ebenso
wie die Formel alt(f1, . . . , fp) = f1 ∧ . . . ∧ fp. Sobald das geleistet ist, wird
die Notation alt(f1, . . . , fp) obsolet werden.
Ergänzung 7.1.4. Im Rahmen unserer Diskussion des Tensorprodukts werden
die Begriffsbildungen dieses Abschnitts auch noch unter einem anderen
Gesichtspunkt besprochen. Genauer konstruieren wir in ?? einen kanonischen
Isomorphismus zwischen dem hier definierten Raum Alt p V der alternierenden
Multilinearformen auf V und dem Dualraum ( p V ) ⊤ seiner