Analysis

5. VEKTORRAUMBÜNDEL UND FELDER 927
Mechanik wird sich dann als natürliche Konsequenz ergeben in einer Weise,
die hier kurz geschildert werden soll, um den Aufbau des Formalismus zu
motivieren. Der Klarheit halber gehen wir gleich von einer abstrakten Mannigfaltigkeit
M aus. Für jede“glatte”Funktion f : U → R auf U ⊂◦ M erklären
wir zunächst ihr “Differential”, einen Schnitt df : U → T ∗ M, x ↦→ dxf der
kanonischen Projektion π : T ∗ M ↠ M des Kotangentialbündels. Ist U ⊂◦ M
offen und q1, . . . , qn : U → R ein “Koordinatensystem” auf U, so bilden an jeder
Stelle x ∈ U die dxqi ∈ T ∗ xM eine Basis des Kotangentialraums, und wir
erklären die zum Koordinatensystem der qi gehörigen “Impulskoordinaten”
auf π −1 (U) ⊂ T ∗ M als die Funktionen pi : π −1 (U) → R mit
η = p1(η) dxq1 + . . . + pn(η) dxqn
für alle x ∈ U und η ∈ T ∗ xM. Kürzen wir nun qi ◦ π = qi ab, so bilden
q1, . . . , qn, p1, . . . , pn ein Koordinatensystem auf π −1 (U) ⊂ T ∗ M. Betrachten
wir nun die sogenannte “Hamilton-Funktion” H : T ∗ M → R und die Wege
γ : I → π −1 (U) ⊂ T ∗ M für I ⊂ R ein halboffenes Intervall mit
(qi ◦ γ) ′ = ∂H
∂pi
◦ γ und (pi ◦ γ) ′ = − ∂H
so beschreiben die π ◦ γ : I → M genau die möglichen Bewegungen unseres
mechanischen Systems. Die Hamiltonfunktion wird im Fall einer Bewegung
eines Systems von n Massepunkten unter Zwangsbedingungen M ⊂ E n in
einem Potentialfeld gegeben als die Summe von kinetischer und potentieller
Energie, wobei wir annehmen, daß das Potential durch eine Funktion auf
M beschrieben wird und die kinetische Energie a priori durch eine Funktion
auf dem Tangentialbündel, die wir dann aber vermittels der durch das kanonische
Skalarprodukt gegebenen Identifikation von Tangentialbündel und
Kotangentialbündel in eine Funktion auf dem Kotangentialbündel übersetzen.
5.8 Das viel später bei G-Strukturen
Definition 5.8.1. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit und G eine Lie-Gruppe.
Ein glatter G-Torsor auf X oder kurz G-Torsor ist ein Paar (P, π) bestehend
aus einer Mannigfaltigkeit P mit einer glatten Rechtsoperation von G
und einer Projektion π : P → X derart, daß unsere Projektion G-äquivariant
ist für die triviale G-Rechtsoperation auf X und “lokal trivial” in dem Sinne,
daß es für jeden Punkt von X eine offene Umgebung U und einen Gäquivarianten
Diffeomorphismus U × G ∼ → π −1 (U) gibt, für den das folgende
∂qi
◦ γ