Analysis

1206 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
3.2.2. Unter einem Potential eines Kraftfelds F : E → E ⊗ 〈〈g/s 2 〉〉 versteht
man eine differenzierbare Abbildung V : E → 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 mit der Eigenschaft
−(dxV )(v) = 〈F (x), v〉 ∀x ∈ E, v ∈ E
Anders gesagt fordern wir von einem Potential also, daß das Negative seines
Differentials − dV : E → E ∗ ⊗ 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 unter der durch unser kanonisches
Skalarprodukt E× E → 〈〈m 2 〉〉 gegebenen Identifikation can : E ∼ → E ∗ ⊗〈〈m 2 〉〉
dem Kraftfeld F : E → E ⊗ 〈〈g/s 2 〉〉 entspricht.
Satz 3.2.3 (Energieerhaltung). Für die Bewegung γ eines Massepunktes
der Masse m in einem Kraftfeld mit Potential V erhalten wir eine Invariante
der Bewegung alias eine von der Zeit t unabhängige Konstante durch den
Ausdruck
m
〈 ˙γ(t), ˙γ(t)〉 + V (γ(t))
2
3.2.4. Der erste Summand heißt die kinetische Energie, der zweite die
potentielle Energie, und das Lemma ist ein Spezialfall des allgemeinen
physikalischen Prinzips der Energieerhaltung.
Beweis. Ableiten nach t liefert mit unserer Formel IV.1.4.5 für das Differential
bilinearer Abbildungen
m〈¨γ(t), ˙γ(t)〉 + (dγ(t)V )( ˙γ(t)) = 〈m¨γ(t), ˙γ(t)〉 − 〈F (γ(t)), ˙γ(t)〉 = 0
3.2.5 (Planetenbewegung). Stellen wir uns nun einmal vor, wir wären Newton.
Kepler hat bereits aus den akribischen Beobachtungen von Tycho Brahe
herausdestilliert, daß die Planeten auf elliptischen Bahnen um die Sonne kreisen,
wobei die Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse steht. Wir gehen
von der zumindest nicht unvernünftigen Annahme aus, daß die von der Sonne
ausgehende Gravitationskraft mit wachsendem Abstand “schwächer wird
in derselben Weise, wie sich ein Gas verdünnen würde, das von der Sonne
ausgeschwitzt wird und sich, indem es mit konstanter Geschwindigkeit nach
allen Seiten von der Sonne wegströmt, im Weltraum verteilt”. Dann ist klar,
daß durch jede in der Sonne zentrierte Kugelschale in einer festen Zeitspanne
dieselbe Gasmenge strömen muß. Da aber die Oberfläche einer Kugelschale
vom Radius r ein festes Vielfaches r 2 ist, muß unser Gas in einem Abstand
r von der Sonne eine Dichte (Konstante mal 1/r 2 ) haben. Durch derartige
Überlegungen motiviert machen wir für das Gravitationsfeld G der Sonne
den Ansatz
G(x) = c ·
S − x
S − x 3