Analysis

1140 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
14.2 Wohin?
Proposition 14.2.1. Wohin? Nötig? Sei G ein Liegruppe und H ⊂ G eine
zusammenhängende abgeschlossene Untergruppe. So gibt es auf G/H genau
zwei G-invariante Orientierungen.
Beweis. Wir wählen eine Orientierung auf TeH(G/H). Für jedes g ∈ G liefert
Verschieben mit g eine Orientierung auf TgH(G/H). Diese Orientierung hängt
nur von der Nebenklasse gH ab, da Verschieben mit h ∈ H die Orientierung
auf TeH(G/H) erhält. Mithilfe lokaler Schnitte der Projektion G ↠ G/H
erkennt man leicht, daß unsere Orientierungen auch stetig vom Fußpunkt
abhängen.
14.3 Klassifikation kompakter Liegruppen, Schrott
Satz 14.3.1. Jede kompakte Untergruppe einer GL(n, R) ist eine Untermannigfaltigkeit
ohne Rand des R n·n und kann beschrieben werden als die
simultane Nullstellenmenge einer endlichen Familie von Polynomen in den
Matrixeinträgen.
Bemerkung 14.3.2. In Formeln gibt es also für jede kompakte Untergruppe
K ⊂ GL(n, R) Polynome f1, . . . , fr ∈ R[Xij] n i,j=1 in den n 2 Veränderlichen
Xij derart, daß gilt K = {A ∈ M(n × n, R) | f1(A) = . . . = fr(A) = 0}. Zum
Beispiel ist die orthogonale Gruppe O(n) = {A ∈ GL(n, R) | AA ⊤ = E} die
simultane Nullstellenmenge der n 2 Polynome
Xr1X1s + Xr2X2s + . . . + XrnXns − δrs für 1 ≤ r, s ≤ n.
Bemerkung 14.3.3. Für diejenigen, die bereits etwas über Spiegelungsruppen
Bescheid wissen, sei hier kurz der Zusammenhang angerissen. Bezeichne S 1 =
{z ∈ C | |z| = 1} den Einheitskreis.
Satz 14.3.4. Sei K ⊂ GL(n, R) eine kompakte Untergruppe.
1. Jede zusammnenhängende kommutative Untergruppe von K läßt sich
zu einer maximalen zusammenhängenden kommutativen Untergruppe
von K vergrößern.
2. Je zwei maximale kommutative zusammenhängende Untergruppen T ⊂
K sind zueinander konjugiert und es existieren für sie stetige Gruppenisomorphismen
S 1 ×. . .×S 1 ∼ → T . Man nennt diese Untergruppen die
maximalen Tori von K.