Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 531
Beweis. Da die Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen nach
II.6.5.18 stets offen sind, folgt das unmittelbar aus dem anschließenden Lemma
6.3.9.
Lemma 6.3.9. Seien (X, M) und (Y, N ) zwei Meßräume und sei die σ-
Algebra N erzeugt von einem Teilsystem S ⊂ N . Genau dann ist f : X → Y
meßbar, wenn gilt
V ∈ S ⇒ f −1 (V ) ∈ M
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß für eine beliebige Abbildung f : X → Y die
Menge f∗M = {V ⊂ Y | f −1 (V ) ∈ M} eine σ-Algebra ist. Das ist jedoch
klar. Im Übrigen heißt die σ-Algebra f∗M das Bild unter f der σ-Algebra
M.
Übung 6.3.10. Alle monotonen Abbildungen R → R sind meßbar.
6.3.11. Gegeben ein Meßraum (X, M) betrachten wir auf jeder Teilmenge
A ⊂ X die induzierte σ-Algebra M|A, die gerade aus allen Schnitten mit
A von meßbaren Mengen in X besteht, M|A = {Z ∩ A | Z ∈ M}. Wir
machen unsere erweiterten reellen Zahlen R = [−∞, ∞] zu einem Meßraum,
indem wir darauf die von allen Intervallen erzeugte σ-Algebra betrachten.
Für die natürliche Topologie auf R im Sinne von II.6.5.9 ist das genau die
σ-Algebra der topologisch meßbaren Mengen.
Ergänzende Übung 6.3.12. Gegeben eine Abbildung f : X → Y und eine
σ-Algebra N ⊂ P(Y ) erhalten wir eine σ-Algebra f ∗ N ⊂ P(X) durch die
Vorschrift f −1 N = {f −1 (N) | N ∈ N }. Wir nennen sie das Urbild unter
f der σ-Algebra N . Zum Beispiel ist unsere induzierte σ-Algebra aus 6.3.11
das Urbild der ursprünglichen σ-Algebra unter der Einbettung.
Ergänzung 6.3.13. Ein topologischer Raum heißt separabel oder gleichbedeutend
zweitabzählbar genau dann, wenn es darin ein abzählbares System
von offenen Teilmengen gibt derart, daß jede offene Menge als Vereinigung
eines Teilsystems dieses abzählbaren Systems geschrieben werden kann. Ein
metrischer Raum ist separabel in diesem Sinne genau dann, wenn er eine abzählbare
dichte Teilmenge besitzt. In der Tat können wir aus einem abzählbaren
System von offenen Teilmengen wie eben leicht eine abzählbare dichte
Teilmenge erhalten, indem wir aus jeder nichtleeren Teilmenge unseres Systems
einen Punkt auswählen. Umgekehrt erhalten wir aus einer abzählbaren
dichten Teilmenge ein abzählbares System offener Mengen mit der gewünschten
Eigenschaft als das System aller offenen Bälle mit rationalen Radien um
besagte Punkte.
Ergänzung 6.3.14. Manche Autoren, so etwa Jameson oder Rudin, verwenden
eine andere Terminologie, die auf Fréchet zurückzugehen scheint und