Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 481
Beweis von Satz 4.5.1 zur Integration über Untermannigfaltigkeiten. Die Eindeutigkeit
ist nicht schwer zu zeigen: Der Träger K := supp f unserer Funktion
f wird nach II.6.10.3 als Kompaktum von den Bildern endlich vieler Karten
(W1, ϕ1), . . ., (Wr, ϕr) überdeckt. Nach II.6.5.13 gibt es V1, . . . , Vr ⊂◦ Rn mit ϕi(Wi) = Vi∩M. Nach 4.4.10 existiert eine an die Überdeckung K ⊂ Vi
angepaßte Teilung der Eins αi. Dann gilt f =
i αif, und da unsere Bedingung
breits die Integrale der Summanden festlegt, legt die ebenfalls geforderte
Linearität dann auch das Integral von f fest. Es bleibt, die Exis-
tenz einer linearen Abbildung
M
mit den geforderten Eigenschaften zu zei-
gen. Zunächst halten wir dazu unsere Funktion f fest und betrachten eine
weitere Überdeckung ihres Trägers durch die Bilder endlich vieler Karten
(U1, ψ1), . . . , (Us, ψs) und eine zugehörige Teilung der Eins βj und behaupten
die Gleichheit
((αif) ◦ ϕi)(x) vol(dxϕi) d k x =
((βjf) ◦ ψj)(x) vol(dxψj) d k x
i
Sie ist aufgrund der Linearität aller Integrale äquivalent zur Gleichheit
((βjαif) ◦ ϕi)(x) vol(dxϕi) d k x =
((βjαif) ◦ ψj)(x) vol(dxψj) d k x
i,j
und folgt, wenn wir die Gleichheit aller Summanden zeigen. Hier haben nun
die Funktionen βjαif Träger im Schnitt der Karten ϕi(Wi) ∩ ψj(Uj). Wir
können also die Indizes weglassen und müssen nur für eine stetige Funktion
mit kompaktem Träger h : M → R, deren Träger im Bild zweier Karten
(W, ϕ) und (U, ψ) liegt, die Identität
h(ϕ(x)) vol(dxϕ) d k
x = h(ψ(x)) vol(dxψ) d k x
zeigen. Indem wir unsere Karten notfalls noch etwas verkleinern, dürfen wir
dabei sogar ϕ(W ) = ψ(U) annehmen, so daß der Kartenwechsel nach 4.3.21
ein C 1 -Diffeomorphismus g = ψ −1 ◦ ϕ : W ∼ → U ist mit ψ ◦ g = ϕ : U → M.
Es folgt h(ϕ(x)) = h(ψ(g(x))) und dxϕ = dg(x)ψ ◦ dxg. Wir erhalten mit der
Multiplikativität der Determinante also
j
i,j
vol(dxϕ) = | det dxg| vol(dg(x)ψ)
und folgern die behauptete Gleichheit der Integrale aus der Transformationsformel
4.4.6, angewandt auf die charakteristische Funktion h ◦ ψ. Damit
haben wir gezeigt, daß jede Überdeckung des Trägers unserer Funktion f
durch Bilder von Karten und jede zugehörige Teilung der Eins in der Formel