Analysis

740 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß beide Seiten auf jedem Vektor v ∈ H denselben
Wert annehmen. Ist ϕ : L 2 (R; µ) ↩→ H die kanonische Einbettung zu
v, so folgt aus den Definitionen die Gleichung
ϕ(s) = s(x)ΦT 〈x〉 (v)
erst für die charakteristische Funktion s jeder Borelmenge, dann für jede meßbare
Stufenfunktion und dann wegen der Stetigkeit beider Seiten in Bezug
auf die Supremumsnorm für jede beschränkte meßbare Funktion auf σ(T ),
insbesondere auch für die Funktion s(x) = x.
Lemma 3.7.10. Gegeben ein Hilbertraum H mit einer kompakt getragenen
auf R definierten Teilung Φ der Identität und zugehörigem selbstadjungierten
Operator T = xΦ〈x〉 haben wir stets
Φ = ΦT
Beweis. Es gilt zu zeigen [M](T ) = Φ(M) für jede Borelmenge M ⊂ R. Da
hier beide Seiten orthogonale Projektionen sind, reicht es zu zeigen
〈v, [M](T )v〉 = 〈v, Φ(M)v〉
für alle v ∈ H. Hier sind nun aber beide Seiten kompakt getragene Borelmaße,
weshalb wir nach 3.5.2 und 3.5.4 und III.3.2.9 nur zeigen müssen, daß sie
für jede Polynomfunktion P dasselbe Integral liefern. Die linke Seite ist per
definitionem das Spektralmaß µ des Vektors v für den Operator T , für µ das
Maß auf der linken Seite haben wir also
P (t)µ〈t〉 = 〈v, P (T )v〉
Das Maß ν auf der rechten Seite hinwiederum hat die Eigenschaft
P (t)ν〈t〉 = v, P Φ v
erst einmal für jede meßbare Stufenfunktion P aber dann wegen der Stetigkeit
beider Seiten unter der Norm gleichmäßiger Konvergenz in P sogar für jede
beschränkte meßbare Funktion P und damit auch für jede Polynomfunktion
P. Damit folgt die Behauptung dann aus 3.6.19.
Übung 3.7.11. (Vorbereitung für 3.10.7.) Gegeben ein selbstadjungierter Operator
T auf einem Hilbertraum H mit zugehöriger Teilung der Identität ΦT
kann für jede abgeschlossene Teilmenge C ⊂ V R das Bild des zugehörigen
Projektors beschrieben werden als
im ΦT (C) = {v ∈ H | infλ∈C (T − λ)v = 0}
= {v ∈ H | µv(R \ C) = 0 für µv das Spektralmaß von v}