Analysis

2. LÖSUNG EINIGER SCHWINGUNGSGLEICHUNGEN 325
2 Lösung einiger Schwingungsgleichungen
2.1 Gedämpfte Schwingungen
2.1.1. Wir interessieren uns für die Bewegung eines Massepunktes, der an
einer Feder aufgehängt ist und dessen Bewegung durch eine zur Geschwindigkeit
proportionale Reibung gedämpft wird. Mißt die Funktion x : R → R,
t ↦→ x(t) seine Auslenkung von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t, so
muß unsere Funktion aus physikalischen Gründen eine Differentialgleichung
zweiten Grades der Gestalt
¨x = −a ˙x − bx
erfüllen, wobei die Konstanten a und b die Stärke der Feder und der Dämpfung
ausdrücken und in physikalisch relevanten Fällen nichtnegativ sind. Wir
lösen diese Differentialgleichung hier erst einmal ad hoc und erheben danach
in 2.2.2 diesen Zugang zur Methode.
Proposition 2.1.2 (zur Lösung der Schwingungsgleichung). Seien reelle
Zahlen a, b ∈ R gegeben.
1. Die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen x : R → R mit
¨x + a ˙x + bx = 0 bildet einen Untervektorraum des Raums Ens(R, R)
aller Abbildungen R → R, den Lösungsraum L unserer Differentialgleichung.
2. Die Abbildung x ↦→ (x(0), ˙x(0)) liefert einen Vektorraumisomorphismus
L ∼ → R 2 dieses Lösungsraums mit dem R 2 , den sogenannten Anfangswertisomorphismus.
3. Hat das Polynom X 2 + aX + b zwei verschiedene reelle Nullstellen λ
und µ, so bilden die beiden Funktionen x1(t) = e λt und x2(t) = e µt
eine Basis des Lösungsraums. Hat es dahingegen eine doppelte reelle
Nullstelle λ, so bilden die beiden Funktionen x1(t) = e λt und x2(t) =
t e λt eine Basis des Lösungsraums.
Bemerkung 2.1.3. Um den Fall, daß unser Polynom gar keine reelle Nullstelle
hat, werden wir uns gleich noch gesondert kümmern.
Beweis. Teil 1 scheint mir offensichtlich. Um Teil 2 zu zeigen beachten wir,
daß die Vorschrift x ↦→ (x, ˙x) offensichtlich einen Isomorphismus zwischen
unserem Lösungsraum L und dem Lösungsraum des Systems ˙γ1 = γ2, ˙γ2 =