Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 839
Übung 3.6.7. Für jeden topologischen Raum X ist die diagonale Abbildung
∆ : X → X × X, x ↦→ (x, x) eine Einbettung. Man zeige: Genau dann ist X
Hausdorff, wenn die Diagonale ∆(X) ⊂ X ×X eine abgeschlossene Teilmenge
des Produkts X × X ist.
Übung 3.6.8. Stimmen zwei stetige Abbildungen von einem topologischen
Raum in einen Hausdorffraum auf einer dichten Teilmenge überein, so sind sie
gleich. Hinweis: Zusammen liefern unsere beiden stetigen Abbildungen eine
Abbildung in das kartesische Produkt, unter der das Urbild der Diagonale
wegen 3.6.7 abgeschlossen sein muß.
Ergänzende Übung 3.6.9. Ein Produkt von abgeschlossenen Teilmengen ist
stets eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts. Allgemeiner zeige man für
topologische Räume X, Y und TeilmengenA ⊂ X und B ⊂ Y die Gleichheit
A × B = Ā × ¯ B des Abschlusses des Produkts mit dem Produkt der
Abschlüsse.
Übung 3.6.10. Für beliebige topologische Räume X, Y , Z ist die offensichtliche
Abbildung X × Y × Z → (X × Y ) × Z ein Homöomorphismus.
Ergänzende Übung 3.6.11. Man zeige, daß die Menge aller (x, y) ∈ R×R mit
x ≤ y abgeschlossen ist. Man folgere, daß bei Grenzwerten von Funktionen
mit Werten in R Ungleichungen erhalten bleiben. Hinweis: 3.1.6.
Ergänzende Übung 3.6.12. Sind f, g : Y → R n stetige Abbildungen, so ist
auch die Abbildung H : Y × [0, 1] → R n mit (y, τ) ↦→ τf(y) + (1 − τ)g(y)
stetig.
Ergänzende Übung 3.6.13. Das Produkt von zwei Mannigfaltigkeiten der Dimensionen
n und m ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension n + m.
Ergänzende Übung 3.6.14. Jede kompakte d-Mannigfaltigkeit X läßt sich stetig
in einen R n einbetten. Hinweis: Man findet für jedes x ∈ X eine stetige
Abbildung fx : X → R d , die injektiv ist auf einer offenen Umgebung Ux von
x. Endlich viele dieser Ux überdecken X.
Übung 3.6.15. Man zeige: Das Produkt von zwei kompakten Räumen ist kompakt.
Der Satz von Tychonoff 17.4.7 wird uns sagen, daß sogar ein beliebiges
Produkt von kompakten Räumen kompakt ist.
Ergänzende Übung 3.6.16. Gegeben topologische Räume X, Y und Kompakta
K ⊂ X sowie L ⊂ Y und W ⊂◦ X × Y mit K × L ⊂ W gibt es U ⊂◦ X und
V ⊂◦ Y mit K ⊂ U und L ⊂ V und U × V ⊂ W .
3.6.17. Die Projektionen eines Produkts von topologischen Räumen auf seine
Faktoren sind im allgemeinen nicht abgeschlossen. Zum Beispiel ist die
sogenannte Hyperbel {(x, y) | xy = 1} eine abgeschlossene Teilmenge der
Ebene R 2 , ihre Projektion auf die x-Achse ist jedoch keine abgeschlossene
Teilmenge der Zahlengerade R.