Analysis

282 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
auch ein homogenes System von linearen Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten. Die Spezifikation “mit konstanten Koeffizienten”
grenzt unsere Gleichung ab von dem noch allgemeineren Fall, bei dem
auch die Matrix M noch von t abhängt. Die Spezifikation“homogen”grenzt es
ab vom allgemeineren Fall einer Gleichung der Gestalt γ ′ (t) = Mγ(t) + f(t)
für eine zusätzlich gegebene vektorwertige Funktion f, den wir in III.2.4.1
diskutieren. Anschaulich gesprochen geben wir uns auf dem R n das sehr spezielle
Vektorfeld x ↦→ Mx vor und interessieren uns für die Bahnen solcher
Teilchen, die bei x ∈ R n jeweils die Geschwindigkeit Mx haben.
7.4.7. Im Fall n = 1 hat M genau einen Eintrag a ∈ R, und wir hatten schon
in 4.3.14 gesehen, daß alle Lösungen der Differentialgleichung γ ′ = aγ die
Form γ(t) = c exp(at) haben. Im Allgemeinen definieren wir die Exponentialfunktion
auf Matrizen durch die Vorschrift
exp : M(n × n; R) → M(n × n; R)
M ↦→ ∞
k=0
1
k! M k = I + M + 1
2M 2 + 1
6M 3 + . . .
Hier bedeutet M 0 = I nach unserer Konvention I.3.1.14 die Einheitsmatrix
und unsere unendliche Reihe ist zu verstehen als der Grenzwert der Folge ihrer
Partialsummen. Es ist nur noch zu zeigen, daß diese Grenzwerte existieren.
Bezeichnen wir dazu für eine quadratische Matrix M ∈ M(n × n; R) mit
|M| das Maximum der Absolutbeträge ihrer Einträge, so gilt offensichtlich
|MB| ≤ n|M||B|, also |M k | ≤ (n|M|) k , und dann zeigt die Konvergenz der
Exponentialreihe zu (n|M|) schon die absolute Konvergenz aller Reihen von
Matrixeinträgen in der Exponentialreihe zu M.
7.4.8. Die Stetigkeit von exp : M(n × n; R) → M(n × n; R) dürfen Sie in
größerer Allgemeinheit als Übung 7.5.27 selbst beweisen.
Satz 7.4.9 (Lineare Differentialgleichungen). Ist M ∈ M(n×n; R) eine
quadratische Matrix und c ∈ R n ein Spaltenvektor, so gibt es genau eine
differenzierbare Abbildung γ : R → R n mit Anfangswert γ(0) = c derart, daß
gilt γ ′ (t) = Mγ(t) für alle t ∈ R, und diese Abbildung wird gegeben durch die
Vorschrift
γ(t) = exp(tM)c
7.4.10. Es ist durchaus möglich, mithilfe dieses Satzes auch ganz konkrete
Differentialgleichungen ganz konkret zu lösen. Wir gehen darauf in Abschnitt
III.2 näher ein.
Beweis. Wir behaupten zunächst, daß die Abbildung g : R → M(n × n; R),
t ↦→ exp(tM) differenzierbar ist mit der Ableitung g ′ (t) = M exp(tM). In